收益率基准（Benchmarking Returns）

本章先比较两种收益率：资金加权收益率（money-weighted return, MWR）是组合现金流的内部收益率（internal rate of return, IRR）；时间加权收益率（time-weighted return, TWR）把各子期间的收益率连接起来，不受存入和取出资金的影响。之后讲证券市场指数（security market index）怎样构建和维护，价格加权（price weighting）、等权重（equal weighting）、市值加权（market-capitalization weighting）和基本面加权（fundamental weighting）有什么区别，以及怎样计算指数的价值、价格收益率（price return）和总收益率（total return）。

LOS 3.a — 资金加权收益率与时间加权收益率

评价期内如果有资金流入或流出组合，“组合的收益率”就可能指两件事：一是投资者的钱增长了多少，这要考虑钱是什么时候投进去的；二是经理的决策让每一元投资增长了多少。**资金加权收益率（money-weighted rate of return）**衡量前者，**时间加权收益率（time-weighted rate of return）**衡量后者。

1. 资金加权收益率（MWR）

资金加权收益率（也叫金额加权收益率（dollar-weighted return））就是组合现金流的内部收益率（IRR）。它是让全部现金流的**净现值（net present value, NPV）**等于零的那个唯一折现率（discount rate）：

步骤：

1. 选定期间长度（通常为一年），使每一笔存入和取出都恰好落在某期期初或期末。
2. 按下表的符号，写出从 $t=0$ 到期末每个日期的净现金流。某个日期没有资金进出，就填 0。计算器把各项输入当作等间隔，漏掉空的日期会让之后每一笔现金流都提前一期。
3. 求 IRR，例如用计算器的现金流工作表（按键见下）。

符号约定（从投资者角度看；从账户角度看，所有符号正好反过来）：

同一天收到的股息和新的买入要轧差成一笔现金流。例如股息 2、买入 50，合起来是 $CF=-48$。只要投入的钱和收回的钱符号相反，把所有符号同时反过来，IRR 不变。

计算器（TI BA II Plus）： [CF] [2ND] [CLR WORK]，依次输入 CF0、C01、C02 …（每个频数 = 1），再按 [IRR] [CPT]。得到的 IRR 是每期利率。如果每期是一年，它就是年利率。

2. 时间加权收益率（TWR）

时间加权收益率衡量复合增长（compound growth）：期初投入的一元钱以什么速度增长。存入和取出资金不影响它。步骤：

1. 在每一笔较大的存入或取出之前，先给组合估值，并在这些日期把评价期切分成若干子期间（subperiod）。
2. 计算每个子期间的持有期收益率（holding period return, HPR）。有现金流时，下一个子期间的期初价值是存入或取出之后的价值：

3. 把各子期间收益率几何连接（geometric linking）。总期间超过一年时，取几何平均数（geometric mean）来年化，开方次数用年数（不是子期间个数）：

如果是先买一股、之后再加仓，可以直接用每股的 HPR：$HP{R}_1=(P_1-P_0+D_1)/P_0$，依此类推。

3. 举例

投资者用 $1,000 开户。一年后账户价值 $1,150（+15%），她再存入 $500，账户变为 $1,650。第 2 年末账户价值 $1,782（第 2 年 +8%）。

• TWR：${\left[(1.15)(1.08)\right]}^{1/2}-1=11.45\%$，按年计。
• MWR：解 $-1,000-\frac{500}{1+r}+\frac{1,782}{(1+r{)}^2}=0$，得 $r=10.81\%$。（CF0 = −1,000；C01 = −500；C02 = +1,782。）

MWR 低于 TWR，因为追加的 $500 正好在表现较差的那一年之前投入。哪段时间投入的钱多，MWR 就给哪段时间更大的权重。

4. 两种指标的比较

• 投资管理行业偏好时间加权收益率，因为客户什么时候追加或取出资金，通常不由经理决定。TWR 把经理选择投资的能力单独剥离出来。
• 全球投资业绩标准（Global Investment Performance Standards, GIPS）是自愿遵守的。声称遵守 GIPS 的公司必须用时间加权收益率列报业绩，只有在资金加权收益率更合适的特定情形下例外。这些情形要求经理控制外部现金流，同时组合还要满足以下任一条件：封闭式、存续期固定、向投资者催缴承诺资本，或主要持有流动性差的投资（私募股权（private equity）的典型特征）。
• 取出资金的效果与存入相反。在表现强劲的时期之前取钱，会让 MWR 相对 TWR 偏低。

LOS 3.b — 证券市场指数：构建、加权与收益率

1. 指数是什么，收益率怎样衡量

证券市场指数（security market index）代表某个资产类别（asset class）、某个证券市场或市场中某个板块的表现。指数是由成分证券（constituent securities）构成的组合。任一时点的指数值，都根据这些证券的市场价格算出。指数值在一段时间内的百分比变化就是指数收益率（index return）。

成分证券有现金分配时，总收益率（total return）大于价格收益率（price return）；总收益指数的涨幅不会小于对应的价格指数（跌幅也不会更大）。没有分配时，两者完全相同。

连续各期的收益率要几何连接（geometrically linked）：

2. 构建指数：五个决策，依次做出

1. 目标市场／目标：指数要衡量哪个市场或板块。这永远是第一个决策，其他决策都由它决定。
2. 成分证券：选择标准，以及符合标准的证券。
3. 加权方法：价格加权、等权重、市值加权（可以做自由流通调整）或基本面加权（fundamental weighting）。
4. 计算方法：指数的起始值，以及之后每个日期怎样计算指数（除数（divisor）和基期值（base value））。
5. 维护：再平衡（rebalancing）、成分调整（reconstitution），以及定期复核编制方法。

按目标市场划分的常见指数类型（第 41 章 LOS 41.d 的预习）：

3. 加权方法

价格加权指数

**价格加权指数（price-weighted index）**等于成分股价格之和除以除数：

• 发布时，$D=\sum P_i/\text{base value}$。
• 发生股票拆分（stock split）、反向股票拆分（reverse stock split）或股票股利（stock dividend），或者成分股变动时，必须调整除数，使这些事件本身不改变指数。股票股利相当于按百分比表示的拆分：发放 10% 的股票股利后，一股变成 1.1 股。它与现金股息（dividends）不同，不支付任何东西，每个股东（shareholders）的持股比例也不变。遇到拆分时，用拆分后的价格重新求和，再解 $D_{new}=\sum P_{new}/\text{index value}$。
• 价格越高的股票权重越大。价格最高的股票变动 10%，对指数的影响最大，与公司规模无关。
• 每只成分股持有相同股数的组合可以复制该指数。
• 这种指数计算简单，但股价本身说明不了公司价值，因为各公司的股数差别很大。所以它主要适合给业绩过度依赖某些特定证券价格变化的组合作基准（benchmark）。例子：道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average, DJIA）（30 只美国股票）和 Nikkei 225。

等权重指数

在**等权重指数（equal-weighted index）**中，每次再平衡时每只成分股的权重都是 $1/N$。

• 设立时，给每只股票相同的参考值（reference value）。持有股数 = 参考值 ÷ 价格。**参考值总额（aggregate reference value）**为 $N\times$ 参考值，$D=\text{aggregate reference value}/\text{base value}$。
• 期初权重相等时，该期指数收益率是各成分股收益率的算术平均数（arithmetic mean）。这里不用几何平均数（geometric mean），因为这些股票是同时并列持有的。
• 权重随价格变动而漂移。上涨的股票权重升到 $1/N$ 以上，下跌的股票降到这个水平以下。要恢复等权重，指数必须经常再平衡，也就是卖出上涨的股票、买入下跌的股票。这对跟踪组合来说成本很高。
• 相对于公司规模，小公司的权重偏高。这种指数适合作为限制最大公司敞口的策略的基准，或者每只持仓投入相同金额的基金的基准。例子：Value Line Composite Average、FT Ordinary Share Index。

市值加权（价值加权）指数

在**市值加权指数（market-capitalization-weighted index）**中，每只成分股的权重是其市值占全部成分股总市值的比例：

• 股票拆分和股票股利不改变公司市值（market capitalization），所以普通的股票拆分或股票股利本身不改变该股票的权重，也不改变除数。成分股加入或剔除（成分调整）时才调整除数。新除数等于新的总市值除以不变的指数值。
• 它跟踪投资者总财富的变化。跟踪组合会自动再平衡，换手率低。
• 主要缺点是股价越涨，权重越大。可能被高估（overvalued）的股票权重更大，可能被低估（undervalued）的股票权重更小。
• 它是追求市场收益的被动策略常用的基准（例如 S&P 500）。

自由流通调整

**自由流通量（market float）**是投资公众实际能买到的股份的价值。它不包括控股（战略）股东（shareholders）持有的股份，通常也不包括其他公司或政府持有的股份。**自由流通股（free float）**范围更窄，还要剔除外国投资者不能购买的股份。**自由流通市值加权指数（float-adjusted market-capitalization-weighted index）**按自由流通调整后的市值给每家公司加权，即市值 × 自由流通比例。控股股东持股多的公司，权重比未调整的指数低。**自由流通调整（float adjustment）**只用于市值加权。

基本面加权指数

在基本面加权指数（fundamental-weighted index）中，权重来自公司的基本面数据，例如盈利、股息、现金流、销售额或账面价值。这些权重不由股价驱动，尽管长期来看与股价有关。这种指数带有价值倾向（value tilt）：与市值加权相比，它超配市盈率（price-to-earnings ratio, P/E）低或账面市值比（book-to-market ratio）高的股票。它适合以价值为导向、以及其他以基本面为驱动的主动策略。优点是不只看价格和市值。缺点是可能漏掉没有正盈利或不派息的公司，从而偏向或偏离某些行业。基本面权重也会漂移，所以指数需要再平衡。

4. 举例：价格收益率与总收益率

某市值加权指数在成分股总市值为 $500 million 时基期值为 1,000，所以 $D=500,000$。一期之后总市值为 $515 million，成分股期间支付了 $6 million 股息。

• 价格指数值 $=515,000,000/500,000=1,030$，价格收益率为 3.0%。
• 总收益指数值 $=(515+6)\text{ million}/500,000=1,042$，总收益率为 4.2%。
• 分配收益率（capital distribution return）为 $6/500=1.2\%$。

如果给的是每股数据，先算每只成分股期初和期末的市值（价格 $\times$ 股数），以及股息（每股股息 $\times$ 股数）。市值加权的总收益率 = （期末价值 $+$ 股息 $-$ 期初价值）$÷$ 期初价值。

5. 维护：再平衡与成分调整

• 再平衡是在价格变动使权重偏离之后，把成分股权重重设回目标，通常每季度一次。它主要针对等权重和基本面加权指数。等权重指数再平衡时，总价值（以及指数值）不变，只是把每个头寸重设为总价值 ÷ N。例如两个持仓分别值 6,300 和 5,500，各重设为 5,900：第一个卖出 400，第二个买入 400。卖出近期上涨的、买入近期下跌的，与趋势跟踪的做法正好相反。
• 成分调整是改变指数包含哪些证券。证券不再符合标准（例如超出规模范围）、到期（mature）、被收购、破产或退市时被剔除，由符合标准的证券替换。当天调整除数，使指数值不发生跳变。
• 价格会有反应。被纳入的证券往往因指数跟踪型经理买入而上涨，被剔除的证券往往因他们卖出而下跌。其余成分股的权重也要按加权方案调整。
• 改变计算公式或规则，既不是再平衡，也不是成分调整。