数量方法 · 第 4 章

金融中的货币时间价值（The Time Value of Money in Finance）

CFA 一级 · 数量方法 · 第 4 章 · 约 49 分钟

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本章学习目标

LOS 4.a 根据预期现金流，计算并解读固定收益工具（零息债券、附息债券、永续债券、摊销债券）和权益工具（优先股、固定增长 DDM 和多阶段 DDM）的现值。
LOS 4.b 已知价格和现金流，计算并解读固定收益工具的隐含收益率，以及权益的隐含必要收益率和隐含增长率。
LOS 4.c 解释现金流可加性原则和无套利条件，并用它们推导隐含远期利率、远期汇率和期权价值。

模块 4.1

折现现金流估值（Discounted Cash Flow Valuation）

本章把固定收益工具（fixed-income instruments）和权益工具（equity instruments）定价为预期现金流的现值（present value, PV），再把同样的关系倒过来用，求隐含收益率（rate of return）和增长率。最后讲现金流可加性（cash flow additivity）和无套利原则（no-arbitrage principle），由此得到远期利率（forward interest rates）、远期汇率（forward exchange rates），以及单期二叉树模型（binomial model）中期权（option）的价值。大部分计算用金融计算器的 TVM 工作表完成。

LOS 4.a — 固定收益工具与权益工具的现值

1. 货币时间价值

货币时间价值（time value of money）指今天的一笔钱比将来同样金额的钱更值钱。投资者要放弃手里的钱，就必须预期得到一定的收益率（rate of return）；同一个利率用作折现率（discount rate），可以把未来现金流换算成现值（present value, PV），也可以把现在的金额换算成终值（future value, FV）。

核心概念

F V = P V (1 + r)^{t} P V = \frac{F V}{( 1 + r ) ^{t}}

其中 $r$ 是每个复利期的利率， $t$ 是期数。**连续复利（continuous compounding）**下： $F V = P V e^{r t}$ ， $P V = F V e^{- r t}$ 。

金融计算器（TI BA II Plus，除非另有说明，P/Y = C/Y = 1，用期末模式 END）按键：N = 期数，I/Y = 每期利率（以 % 计），PV = 现值，PMT = 每期固定支付额，FV = 终值，CPT = 计算。现金流出输入为负，流入输入为正（例如支付的价格为负，收到的面值（face value）为正）。每做一道题之前，先清空 TVM 工作表。

每年有 $m$ 个复利期时，利率用 $r / m$ ，期数用年数 $\times m$ 。金额不等的现金流逐笔移到目标日期，再相加：年利率 6%、每半年复利一次，第 1 年末支付的 2,000 在第 3 年末的价值为 $2, 000 \times 1.0 3^{4} = 2, 251.02$ 。

下面几种工具的区别只在于现金流的模式：

Six panels. Zero-coupon bond: pay 714.86 at t = 0, receive 1,000 at t = 9. Fixed-coupon bond: pay 1,042.12 at t = 0, receive 70 at t = 1 to 4 and 1,070 at t = 5. Amortizing loan: five level payments of 2,926.69, with the interest part falling from 840.00 to 191.47 and the principal part rising from 2,086.69 to 2,735.22. Perpetuity or preferred stock: 4.20 every year forever, value 70.00 at 6%. Constant growth dividends: 3.00 growing 5% a year, value 50.00 at 11%. Multistage dividends: from 0.80, growing 18% for three years (0.94, 1.11, 1.31) then 3% a year, value 20.24 at 9%. — Cash flow patterns of the instruments in this module (numbers from the module's examples)

2. 固定收益工具

纯折价工具

纯折价工具（pure discount instrument）（零息债券（zero-coupon bond））以低于面值的价格买入，投资者在到期时收回面值，差额就是赚到的利息。它的价格由两个输入决定：剩余期限，以及到期收益率（yield to maturity, YTM），即用来折现面值的利率。

*例：*面值 $1,000、剩余 9 年到期、收益率 3.8% 的债券，价格为 $1, 000/1.03 8^{9} = $714.86$ （N = 9，I/Y = 3.8，PMT = 0，FV = 1,000，CPT PV = −714.86）。

收益率为负时，零息债券按溢价（premium）定价（高于面值）：收益率为 −0.4% 时，同一只债券的价格为 $1, 000/0.99 6^{9} = $1, 036.73$ 。

固定票息债券

固定票息债券（fixed-coupon bond）的票面利率（coupon rate） × 面值决定每期票息（coupon），即 PMT。到期收益率（I/Y）是这样一个利率：用它折现债券的现金流，正好得到债券价格。两个利率一般不相等。价格等于票息和面值的现值之和，全部按 YTM 折现：

P = t = 1 \sum N \frac{C}{( 1 + Y T M ) ^{t}} + \frac{F}{( 1 + Y T M ) ^{N}}

*例：*5 年期、面值 $1,000、年票息 7%、YTM 为 6% 的债券：N = 5，I/Y = 6，PMT = 70，FV = 1,000，CPT PV = −1,042.12。

核心概念

关系	价格与面值
票面利率 > YTM	溢价（价格 > 面值）
票面利率 = YTM	平价（par）
票面利率 < YTM	折价（discount）（价格 < 面值）

浮动利率债券（floating-rate bond）把票息重设为市场参考利率（market reference rate, MRR）加一个固定利差（例如参考利率 2.5% + 150 个基点 = 4.0%）；一个基点（basis point） = 0.01%。

永续债券

永续债券（perpetual bond）（即永续年金（perpetuity））永远支付固定金额，没有到期日（maturity）：

P V_{perpetuity} = \frac{P M T}{r}

假设第一笔支付在一期之后到来。

摊销债券与年金

**年金（annuity）**是一系列间隔相等、金额相等的支付。下面的公式假设每笔支付都在期末发生，所以第一笔支付在一期之后。摊销债券（amortizing bond）（或固定利率按揭贷款）每期支付固定金额，其中既有利息，也有本金（principal）。随着未偿余额下降，每笔支付中的利息部分减少，本金部分增加。早期支付是否主要是利息，取决于利率和期限（利率低或期限短时，连第一笔支付也可能以本金为主）。

P V_{annuity} = P M T \times \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- N}}{r} P M T = \frac{r \times P V}{1 - ( 1 + r ) ^{- N}}

*例：*一笔 $12,000 的贷款，利率 7%，在 5 个年末等额偿还：N = 5，I/Y = 7，PV = 12,000，FV = 0，CPT PMT = −2,926.69。按月还款时，N = 年数 × 12，I/Y = 年利率 ÷ 12。

把一笔支付拆成利息和本金：

利息 $= r \times$ 期初余额。
偿还的本金 $=$ 支付额 $-$ 利息。
新余额 $=$ 原余额 $-$ 偿还的本金。

这笔贷款的第一笔支付含利息 $0.07 \times 12, 000 = $840.00$ ，偿还本金 $2, 926.69 - 840.00 = $2, 086.69$ ，余额剩 $9,913.31。第二笔支付含利息 $0.07 \times 9, 913.31 = $693.93$ ，偿还本金 $2,232.76。利息部分每年减少的金额，正好等于本金部分增加的金额。这笔贷款的完整还款计划：

Amortization schedule: $12,000 at 7%, five year-end payments

Year	Beginning balance	Payment	Interest (7%)	Principal repaid	Ending balance
1	12,000.00	2,926.69	840.00	2,086.69	9,913.31
2	9,913.31	2,926.69	693.93	2,232.76	7,680.56
3	7,680.56	2,926.69	537.64	2,389.05	5,291.51
4	5,291.51	2,926.69	370.41	2,556.28	2,735.22
5	2,735.22	2,926.69	191.47	2,735.22	0.00

延后开始的年金

年金公式给出的是第一笔支付前一期的价值。第一笔支付更晚时：

用年金公式求值（得到第一笔支付前一期的价值）。
把这个值当作一笔单一金额，折现到今天。

*例：*四笔 5,000 的支付从 $t = 4$ 开始，利率 6%。第 1 步： $5, 000 \times [1 - 1.0 6^{- 4}] /0.06 = 17, 325.53$ ，这是 $t = 3$ 时的价值。第 2 步： $17, 325.53/1.0 6^{3} = 14, 546.85$ ，这是今天的价值。

Timeline t = 0 to t = 7 with payments of 5,000 at t = 4, 5, 6 and 7. Step 1: the annuity formula gives 17,325.53 at t = 3. Step 2: discounting three periods at 6% gives 14,546.85 today. — Valuing an annuity whose first payment is at t = 4

3. 权益工具

**权益证券（equity securities）的价值是预期未来现金流的现值，按投资者的必要收益率（required return）**折现。必要收益率就是让投资者愿意持有这只股票的收益率。权益（equity）通常没有到期日，现金流也可能变化。

**优先股（preferred stock）无限期支付固定股息（dividends），金额是面值（par value）**的一个约定百分比，所以按永续年金估值：

V_{preferred} = \frac{D _{p}}{r _{p}}

其中 $D_{p}$ 是每期股息， $r_{p}$ 是市场对该优先股要求的收益率。

*例：*年股息 $4.20、必要收益率 6%，价值为 $70.00。约定股息率决定现金流；必要收益率是折现率。

普通股（common stock）是对公司资产的剩余索取权（residual claim），其他所有索取权都满足之后才轮到它。公司没有承诺支付股息，是否支付、何时支付由管理层决定。股息折现模型（dividend discount models, DDMs）：

固定股息：像优先股一样，把股票按永续年金估值。
固定增长 DDM（constant growth DDM）（戈登增长模型（Gordon growth model））：

V_{0} = \frac{D _{1}}{r _{e} - g _{c}}, D_{1} = D_{0} (1 + g_{c})

其中 $V_{0}$ 是从 $D_{1}$ 起全部股息的价值， $r_{e}$ 是普通股权益的必要收益率， $g_{c}$ 是股息的固定增长率。模型需要下一期的预期股息（ $D_{1}$ ）、一个固定的增长率，并要求 $r_{e} > g_{c}$ 。*例：* $D_{1} = $3.00$ ， $r_{e} = 11%$ ， $g_{c} = 5%$ ，则 $V_{0} = 3.00/0.06 = $50.00$ 。

多阶段 DDM（multistage DDM）：逐个预测高增长阶段的股息，再在固定增长阶段开始时套用戈登模型。戈登模型给出的是分子里那笔股息之前一期的价值： $P_{n} = D_{n + 1} / (r_{e} - g_{c})$ 。高增长率可以高于 $r_{e}$ ，因为这些股息是逐笔折现的（下面例子里是 18% 对 9%）。只有戈登那一步用到的固定增长率必须低于 $r_{e}$ 。

*多阶段例子：* $D_{0} = $0.80$ ，前 3 年增长 18%，之后永远增长 3%， $r_{e} = 9%$ 。
$D_{1} = 0.944, D_{2} = 1.1139, D_{3} = 1.3144, D_{4} = 1.3144 \times 1.03 = 1.3539$
$P_{3} = 1.3539/ (0.09 - 0.03) = 22.564$

V_{0} = \frac{0.944}{1.09} + \frac{1.1139}{1.0 9 ^{2}} + \frac{1.3144 + 22.564}{1.0 9 ^{3}} = $20.24

例题详解：债券定价与贷款还款拆分

一只 5 年期债券，面值 $1,000，年票息 5.25%，YTM 为 4.35%。另外，一位借款人借入 $250,000，利率 4.8%，分 10 个年末等额偿还。

第 1 步。票面利率（5.25%）高于 YTM（4.35%），所以债券一定溢价交易。

第 2 步。给债券定价：N = 5；I/Y = 4.35；PMT = 52.50；FV = 1,000；CPT PV = −1,039.68。价格为 $1,039.68，和预判一样高于面值。

第 3 步。一年后，YTM 不变：N = 4；I/Y = 4.35；PMT = 52.50；FV = 1,000；CPT PV = −1,032.40。价格仍高于面值，但离面值更近了。

第 4 步。贷款每期还款额：N = 10；I/Y = 4.8；PV = 250,000；FV = 0；CPT PMT = −32,062.44。

第 5 步。第一笔还款：利息 $0.048 \times 250, 000 = $12, 000.00$ ；本金 $32, 062.44 - 12, 000.00 = $20, 062.44$ ；新余额 $229,937.56。

第 6 步。第二笔还款：利息 $0.048 \times 229, 937.56 = $11, 037.00$ ；本金 $32, 062.44 - 11, 037.00 = $21, 025.44$ 。利息部分减少了 $963.00，本金部分增加了同样的金额。

结果：债券价格为 $1,039.68。贷款每期还款 $32,062.44，其中利息第 1 年为 $12,000.00，第 2 年为 $11,037.00。

常见考试陷阱

把票面利率（决定 PMT）和 YTM（即 I/Y）弄混；或者题目已经给出债券本身的价格，却把同类债券的收益率（rate of return）当作它的 YTM。
年金（annuity）和单笔金额：把现值（present value, PV）和终值（future value, FV）搞混，把各笔支付直接相加而不折现，或者用单利 $F V / (1 + r t)$ 折现，忽略了复利。
永续年金（perpetuity）价值 = 支付额 ÷ 利率；第一笔支付在一期之后时，这已经是今天的价值。改成相乘，或者再多折现一期，结果都错。用上面 $4.20 股息、6% 必要收益率（required return）的例子，把 $70.00 再折现一期，得到 $66.04。
戈登模型：用了 $D_{0}$ ，而该用的是 $D_{1}$ ；或者增长率不固定、不低于必要收益率（required return）时仍套用模型。
多阶段 DDM：终端价值（terminal value） $P_{n}$ 用 $D_{n + 1}$ 计算，折现 $n$ 期，而不是 $n + 1$ 期。在多阶段例子里，把 $P_{3}$ 折现四期，得到 $18.80，而不是 $20.24。
延后开始的年金（annuity）：按到第一笔支付的全部期数折现，而不是少一期。在上面的例子里，把 17,325.53 折现四期，得到 13,723.44，而不是 14,546.85。
忘了负收益率（rate of return）会让价格高于面值（par value）。
按月还款的贷款：N 和 I/Y 只换算了一个。

答题技巧

计算债券价格之前，先比较票面利率和 YTM：票面利率高于 YTM 是溢价，相等是平价，低于是折价（discount）。落在面值错误一侧的价格可以直接排除。
零息债券、附息债券和等额还款贷款都是一次 TVM 输入；零息债券就是 PMT = 0 的同一组输入。
等额永续年金或优先股不用计算器工作表：价值 = 支付额 ÷ 利率。

本节要点

这里的每种工具，价值都是预期现金流的现值（present value, PV），每笔现金流都用 $P V = F V / (1 + r)^{t}$ 折现。
票面利率（coupon rate）高于 YTM 时债券溢价交易，相等时平价交易，低于 YTM 时折价（discount）交易。
永续年金（perpetuity）在第一笔支付前一期的价值是 $P M T / r$ ，优先股（preferred stock）也这样估值： $D_{p} / r_{p}$ 。
摊销型贷款中，每笔还款的利息等于利率乘以期初余额，所以在贷款存续期内利息部分逐期减少，本金部分逐期增加。
戈登增长模型（Gordon growth model） $V_{0} = D_{1} / (r_{e} - g_{c})$ 用下一期股息，并要求增长率固定且低于必要收益率（required return）。
多阶段 DDM 中，终端价值（terminal value） $P_{n} = D_{n + 1} / (r_{e} - g_{c})$ 和第 $n$ 期支付的股息一起折现 $n$ 期。

随堂小测

第 1 题核心

Brisa Therapeutics expects to receive the licensing fees shown in the table below. Its finance team discounts them at a stated annual rate of 6%, compounded monthly. The present value of the three fees today is closest to:

Expected licensing fees

Received at the end of year	Fee
1	$5,000
2	$9,000
3	$12,000

查看答案和解析

正确答案： A

各笔许可费金额不等，所以每一笔单独折现到今天，再把现值（present value, PV）相加。按月复利时，每期利率是 6%/12 = 0.5%，每年有 12 期，所以三笔费用分别折现 12、24 和 36 个月。

P V = \frac{5 , 000}{1.00 5 ^{12}} + \frac{9 , 000}{1.00 5 ^{24}} + \frac{12 , 000}{1.00 5 ^{36}}

= 4, 709.53 + 7, 984.67 + 10, 027.74 = $22, 721.94

计算器（P/Y = C/Y = 1，期末模式），先算第一笔费用：输入 N = 12、I/Y = 0.5、PMT = 0、FV = 5,000，按 CPT PV，得到 −4,709.53。然后改成 N = 24、FV = 9,000，按 CPT PV，得到 −7,984.67；再改成 N = 36、FV = 12,000，按 CPT PV，得到 −10,027.74。

其他选项为什么错

B. $22,802 按 6% 年复利折现（ $1.06$ 、 $1.0 6^{2}$ 和 $1.0 6^{3}$ ）。按月复利会把有效年利率（effective annual rate, EAR）提高到 $1.00 5^{12} - 1 = 6.17%$ ，所以现值更低。
C. $25,708 用了 0.5% 的月利率，却只折现 1、2、3 期，按年而不是按月计期数。

本题要点每年复利 $m$ 次时，按 $r / m$ 折现，期数为 $m \times$ 年数；金额不等的现金流逐笔估值。

模块 4.2

隐含收益率与现金流可加性（Implied Returns and Cash Flow Additivity）

LOS 4.b — 隐含收益率与隐含增长率

模块 4.1 的现值（present value, PV）关系可以变形：已知价格和已知（或假设）的现金流，就能解出隐含的收益率（rate of return）。

零息债券（zero-coupon bond）

r = (\frac{F V}{P V})^{1/ N} - 1

*例：*面值（face value） $1,000、6 年后到期、价格 $820 的债券，收益率为 $(1, 000/820)^{1/6} - 1 = 3.36%$ （N = 6，PV = −820，PMT = 0，FV = 1,000，CPT I/Y = 3.36）。

附息债券

**附息债券（coupon bond）**的到期收益率（yield to maturity, YTM）一般没有解析解，所以用计算器求：N，PMT = 票息（coupon），FV = 面值（face value），PV = −价格，CPT I/Y。*例：*5 年期、面值 $1,000、年票息 4%、价格 $975.00 的债券：N = 5，PMT = 40，FV = 1,000，PV = −975，CPT I/Y = 4.57。

价格和收益率反向变动：债券价格上升，YTM 下降；价格下降，YTM 上升。上面这只债券如果涨到 $990.00，YTM 降到 4.23%。

权益（equity）：隐含必要收益率

权益的必要收益率（required return）无法直接观察。把固定增长股息折现模型（constant growth dividend discount model, DDM）变形，代入观察到的价格，得到：

核心概念

r_{e} = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g_{c} = dividend yield + constant growth rate

这里的**股息收益率（dividend yield）**是预期股息除以当前价格。

权益：隐含增长率

已知必要收益率时，**隐含增长率（implied growth rate）**为

g_{c} = r_{e} - \frac{D _{1}}{P _{0}} = required return - dividend yield

如果要解的是必要收益率，而题目给出的是刚支付的股息（ $D_{0}$ ），先换算： $D_{1} = D_{0} (1 + g_{c})$ 。

已知	求	公式
$P_{0}, D_{1}, g_{c}$	必要收益率	$D_{1} / P_{0} + g_{c}$
$P_{0}, D_{1}, r_{e}$	隐含增长率	$r_{e} - D_{1} / P_{0}$
$r_{e}, g_{c}, P_{0}$	股息收益率	$r_{e} - g_{c}$

*例：*股价 $50.00，预计明年支付 $2.00 股息，股息收益率为 4.0%。固定增长率为 5% 时，隐含必要收益率为 4.0% + 5% = 9.0%。如果投资者要求的是 10%，隐含增长率为 10% − 4.0% = 6.0%。

LOS 4.c — 现金流可加性、无套利及其应用

1. 现金流可加性原则

根据现金流可加性原则（cash flow additivity principle），一组现金流的价值，等于把每笔现金流分别折现后相加的总和。几组现金流可以相加（同一日期的现金流合并），也可以任意拆分，各部分的现值（present value, PV）加起来等于整体的现值。

*例：*利率 8% 时，第 1–4 年末分别支付 $200、$200、$500 和 $200，价值等于一个 4 年期、每年 $200 的年金（annuity）（PV = 662.43），加上第 3 年的一笔 $300（PV = 238.15），合计 $900.58。这就是复制（replication）：一个年金加一只零息债券（zero-coupon bond），复制出这组不均匀的现金流。拆出一个等于最小（或任意）等额金额的年金后，剩下的现金流保持原来的时间顺序。顺序很重要，因为越早的现金流越值钱。

比较两个项目时，按日期把一组现金流减去另一组。如果差额是先 $+ X$ 、后 $- X$ ，那么在任何正的折现率（discount rate）下，现金流较早的项目现值更高，不需要计算净现值（net present value, NPV）。

2. 无套利原则（一价定律）

可加性是无套利原则（no-arbitrage principle）（即一价定律（law of one price））的基础：未来现金流在每一种可能状态下都相同的两项资产，现在的价格必须相同。价格偏离时，交易者买入较便宜的资产、卖出较贵的资产，这种交易会把两个价格推回一致。这类价差消失得很快，所以套利者必须马上行动。

下面用这一原则推导远期利率（forward rate）和远期汇率（forward exchange rates），并给期权估值。

3. 远期利率

**即期利率（spot rate）** $S_{n}$ 是今天发放、期限 $n$ 年的贷款的年化利率。**远期利率（forward rate）**是未来某个日期发放的贷款的利率：1y1y 是一年后开始的 1 年期利率，2y1y 是两年后开始的 1 年期利率，3y2y 是三年后开始的 2 年期利率。在同一期限内，无论走哪条路径借款或投资，成本都必须相同：

核心概念

(1 + S_{2})^{2} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y) \Rightarrow 1 y 1 y = \frac{( 1 + S _{2} ) ^{2}}{1 + S _{1}} - 1

(1 + S_{3})^{3} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y) (1 + 2 y 1 y)

这样从即期利率解出的远期利率，就是隐含远期利率（implied forward rate）。*例：* $S_{1} = 1.5%$ ， $S_{2} = 2.5%$ ，则 $1 y 1 y = 1.02 5^{2} /1.015 - 1 = 3.51%$ 。即期利率曲线（spot curve）向上倾斜时，远期利率高于两个即期利率。投资者买 2 年期债券，或者先按 $S_{1}$ 买 1 年期债券、再按 1y1y 滚动再买一次，两种做法没有差别。

Two ways to invest for two years: a 2-year spot bond, or a 1-year spot bond followed by the 1y1y forward rate

如果投资者能把第二年的利率锁定在 4.00%，两条路径的成本就不再相同。按 $S_{2}$ 借入 $1,000,000、期限两年，到期要偿还 $1, 000, 000 \times 1.02 5^{2} = $1, 050, 625$ 。把同样的金额先按 1.5% 借出一年，再按锁定的 4.00% 借出一年，收回 $1, 000, 000 \times 1.015 \times 1.04 = $1, 055, 600$ 。第 2 年末的这 $4,975 收益不用投资者自己出钱，也没有风险，所以是套利（arbitrage）利润。交易者利用这个机会，会把远期利率推回 3.51%。

更长期限的远期利率遵循同样的规则。一年后开始的 2 年期利率满足 $(1 + S_{3})^{3} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 2 y)^{2}$ 。

4. 远期汇率（forward exchange rates）

**汇率（exchange rate）**表示买一单位某种货币需要多少单位另一种货币。报价 A/B 是一单位 B（基础货币（base currency））以 A（计价货币（price currency））表示的价格。无套利把远期汇率、即期汇率（spot exchange rate）与远期期限内两种货币的无风险利率（risk-free rate）联系在一起。如果远期汇率偏离，交易者可以借入一种货币，按即期汇率兑换，按另一种货币的无风险利率投资，再把本息远期卖出，锁定无风险利润。根据利率的报价方式，用下面两种等价形式之一：

用年利率、期限为 $T$ 年时：

\frac{Forward}{Spot} = \frac{( 1 + r _{price} ) ^{T}}{( 1 + r _{base} ) ^{T}}

利率已经换算成远期期间的利率时（例如 90 天货币市场利率按 $r \times 90/360$ 换算），不用指数：

\frac{Forward}{Spot} = \frac{1 + r _{price, period}}{1 + r _{base, period}}

远期汇率与即期汇率的百分比差异，约等于两种货币的利差。*例：*一年期远期，即期汇率 1.1000 USD/EUR，美元一年期利率 4%，欧元一年期利率 2%，远期汇率为 $1.1000 \times 1.04/1.02 = 1.1216$ ，比即期高约 1.96%，接近 2% 的利差。利率较高的货币远期贴水（forward discount）。

5. 期权价值：单期二叉树模型

期权（option）赋予持有人按约定的行权价（exercise price）买入（看涨期权（call option））或卖出（看跌期权（put option））某项资产的权利，但没有义务。到期时：看涨期权价值 $= max (S_{T} - X, 0)$ ；看跌期权价值 $= max (X - S_{T}, 0)$ 。到期时，如果行权不划算，期权就是虚值（out of the money）（行权价高于市价的看涨期权，或行权价低于市价的看跌期权），持有人任其到期失效。到期时处于**实值（in the money）**的期权会被行权。

在**二叉树模型（binomial model）**中，标的资产（underlying）在一期内变动到两个价格之一。单期模型需要：标的资产今天的价值、行权价（期权在期末到期）、上涨和下跌时的收益率，以及该期的无风险利率。卖出一份看涨期权，同时买入 $h$ 股，使组合在上涨或下跌后的价值相同（无风险）：

h = \frac{c _{u} - c _{d}}{S _{u} - S _{d}}

这个 $h$ 就是对冲比率（hedge ratio）：每卖出一份期权买入的股数。

无风险组合必须赚取无风险利率（risk-free rate），所以：今天的价值 $= \frac{h S _{d} - c _{d}}{1 + R _{f}}$ ，期权价值 $c_{0} = h S_{0} - portfolio value today$ 。

*例：* $S_{0} = $80$ ，上涨 30% 到 $104，下跌 15% 到 $68， $X = $90$ ， $R_{f} = 3.5%$ 。看涨期权的收益：上涨时 $14，下跌时 $0。 $h = 14/36 = 0.3889$ 。到期时组合价值 $= 0.3889 \times 68 = $26.44$ ，两种状态下都一样。现值 PV $= 26.44/1.035 = $25.55$ 。看涨期权价值 $= 0.3889 \times 80 - 25.55 = $5.56$ 。

One-period binomial tree for the call example: prices, payoffs, hedge ratio and call value

常见考试陷阱

把价格界限的方向弄反：对零息债券（zero-coupon bond），要得到高于 X% 的收益率，价格必须低于对应 X% 的那个价格。
求隐含增长率时，把股息收益率（dividend yield）加到必要收益率上；股息收益率应该减去。必要收益率 10%、股息收益率 4.0% 时，这个错误得到 14.0%，而不是 6.0%。
对即期利率（spot rate）取平均来求远期利率（forward rate）。远期利率来自复利（几何）关系。 $S_{1} = 1.5%$ 、 $S_{2} = 2.5%$ 时，平均值是 2.0%，而 1y1y 是 3.51%。
远期汇率（forward exchange rates）：把两个利率之和或平均值当作远期升水或贴水，或者在精确比率中把基础货币（base currency）的利率放在分子。即期汇率 1.1000 USD/EUR 时，把欧元利率放在分子，得到 $1.1000 \times 1.02/1.04 = 1.0788$ ，而不是 1.1216。
可加性：把剩余现金流按相反的日期顺序写出，这会改变它们的现值（present value, PV）。
二叉树模型（binomial model）：把收益按 50/50 加权；用无风险利率（risk-free rate）以外的利率折现对冲组合；或者把组合的现值（present value, PV）当作期权价值，而不是用股票头寸减去它。在上面的例子中，按 50/50 加权得到 $0.5 \times 14/1.035 = $6.76$ ，把组合现值当作期权价值得到 $25.55，而看涨期权（call option）的价值是 $5.56。

答题技巧

即期利率曲线向上倾斜时，隐含远期利率高于两个即期利率，所以落在两个即期利率之间的远期利率可以直接排除。
先判断远期汇率的方向：计价货币利率较高时，远期汇率高于即期；计价货币利率较低时，远期汇率低于即期。
两组现金流只差先 $+ X$ 、后 $- X$ 时，在任何正的折现率下，现金流较早的那组现值更高，不需要计算 NPV。

本节要点

零息债券（zero-coupon bond）的隐含收益率是 $(F V / P V)^{1/ N} - 1$ ；附息债券的 YTM 用计算器求（CPT I/Y）。
债券价格与 YTM 反向变动。
把戈登增长模型（Gordon growth model）变形，得到必要收益率 $r_{e} = D_{1} / P_{0} + g_{c}$ 和隐含增长率 $g_{c} = r_{e} - D_{1} / P_{0}$ 。
根据现金流可加性，一组现金流的现值（present value, PV）等于各部分现值之和，所以不均匀的现金流可以用年金和零息债券（zero-coupon bond）复制（replication）。
无套利决定了隐含远期利率（implied forward rate） $1 y 1 y = (1 + S_{2})^{2} / (1 + S_{1}) - 1$ 和远期汇率（forward exchange rates） $Forward / Spot = (1 + r_{price})^{T} / (1 + r_{base})^{T}$ 。
单期二叉树模型（binomial model）中，对冲比率（hedge ratio） $h = (c_{u} - c_{d}) / (S_{u} - S_{d})$ ，对冲组合赚取无风险利率（risk-free rate）， $c_{0} = h S_{0}$ 减去对冲组合的现值（present value, PV）。

随堂小测

第 2 题核心

Chiara Lombardi holds a 7-year corporate bond with a 5.3% annual coupon. Her monthly statement shows that the bond's yield to maturity rose from 5.1% last month to 5.6% this month. Over the month, the bond's price has most likely:

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正确答案： A

价格和到期收益率反向变动。到期收益率是让债券现金流的现值（present value, PV）等于价格的折现率。收益率上升，意味着同样的固定现金流折现得更多，所以价格一定下降了。

其他选项为什么错

B. 价格上升对应的是到期收益率下降，而不是上升。
C. 价格不变时，到期收益率几乎不变（只有过去一个月的时间流逝会让它略有变化），不可能上升 0.5 个百分点。

本题要点价格和 YTM 反向变动：收益率上升，价格下降。

练习题

第 3 题核心

Brightwater Utilities has preferred stock outstanding that pays a fixed annual dividend of $2.60 per share with no maturity date. An investor who requires a 7.2% rate of return should be willing to pay, per share, a maximum of closest to:

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正确答案： C

永远支付的固定股息是永续年金（perpetuity）。它的价值等于年股息除以投资者要求的收益率（rate of return）。

V_{p} = \frac{D _{p}}{r _{p}} = \frac{2.60}{0.072} = $36.11

其他选项为什么错

A. $18.72 是用股息乘以必要收益率（ $2.60 \times 7.2$ ），而不是除以它。
B. $33.69 把永续年金价值多折现了一年， $(2.60/0.072) /1.072$ 。第一笔股息在一年之后时，公式 $D_{p} / r_{p}$ 给出的已经是今天的价值。

本题要点优先股（永续固定股息）：价值 = 股息 ÷ 必要收益率。

第 4 题核心

A small business project is expected to generate the following cash flows:

Expected year-end cash flows

End of year	Cash flow
1	$3,000
2	$5,000
3	$0
4	−$1,500

At a discount rate of 8%, the present value of this cash flow stream is closest to:

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正确答案： A

根据现金流可加性原则，不均匀现金流的现值（present value, PV）等于各笔现金流现值之和。每笔现金流按各自的年数折现，第 4 年的流出带负号计入。

P V = \frac{3 , 000}{1.08} + \frac{5 , 000}{1.0 8 ^{2}} + \frac{0}{1.0 8 ^{3}} - \frac{1 , 500}{1.0 8 ^{4}}

= 2, 777.78 + 4, 286.69 + 0 - 1, 102.54 = $5, 961.93

计算器：[CF] [2ND] [CLR WORK]；CF0 = 0；C01 = 3,000，F01 = 1；C02 = 5,000，F02 = 1；C03 = 0，F03 = 1；C04 = −1,500，F04 = 1；[NPV] I = 8，[↓] [CPT] = 5,961.93。现金流入输入为正，第 4 年的流出输入为负。

其他选项为什么错

B. $7,064 只算了第 1 年和第 2 年的流入，漏掉了第 4 年的流出。
C. $8,167 把第 4 年现金流的现值加上了（ $+ 1, 102.54$ ），而不是减去。这笔是流出。

本题要点不均匀现金流的现值 $= \sum_{t} C F_{t} / (1 + r)^{t}$ ，流出保留负号。

第 5 题核心

A stock trades at $40. In one year it will either rise by 25% or fall by 20%. A one-year call option on the stock has an exercise price of $44, and the risk-free rate is 4%. Using a one-period binomial model, the value of the call option today is closest to:

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正确答案： B

卖出一份看涨期权（call option），同时按对冲比率（hedge ratio） $h$ 买入股票，组合无论股价涨跌价值都相同。这个无风险组合必须赚取无风险利率（risk-free rate）。期权价值等于买股票的成本减去无风险组合的现值（present value, PV）。

到期时股价：上涨 $= $50$ ，下跌 $= $32$ 。看涨期权收益：上涨 $= max (50 - 44, 0) = $6$ ；下跌 $= $0$ 。

h = \frac{6 - 0}{50 - 32} = 0.3333

到期时组合价值：上涨 $= 0.3333 \times 50 - 6 = 10.667$ ；下跌 $= 0.3333 \times 32 - 0 = 10.667$ 。

PV = \frac{10.667}{1.04} = 10.256 c_{0} = 0.3333 \times 40 - 10.256 = 13.333 - 10.256 = $3.08

其他选项为什么错

A. $2.88 给上涨和下跌的收益相同权重（ $0.5 \times 6/1.04$ ）。二叉树估值不依赖 50/50（或任何主观）概率，而是由对冲比率、上涨和下跌后的价格以及无风险利率决定。
C. $3.20 是未折现的价值：它等于 $1.04 \times 3.08$ ，即 $0.5333 \times 6$ ，其中 $0.5333 = (1.04 - 0.80) / (1.25 - 0.80)$ 是上涨的风险中性概率（risk-neutral probability）。漏掉除以 $1 + R_{f} = 1.04$ ，会高估期权价值。

本题要点二叉树模型（binomial model）： $h = (c_{u} - c_{d}) / (S_{u} - S_{d})$ ； $c_{0} = h S_{0} - PV of the riskless portfolio at R_{f}$ 。

本章题库共 44 道题。去题库全部练习。

本章要点

每年复利 $m$ 次时，按 $r / m$ 折现，期数为 $m \times$ 年数；金额不等的现金流逐笔估值。
优先股（永续固定股息）：价值 = 股息 ÷ 必要收益率。
价格和 YTM 反向变动：收益率上升，价格下降。
不均匀现金流的现值 $= \sum_{t} C F_{t} / (1 + r)^{t}$ ，流出保留负号。
二叉树模型（binomial model）： $h = (c_{u} - c_{d}) / (S_{u} - S_{d})$ ； $c_{0} = h S_{0} - PV of the riskless portfolio at R_{f}$ 。