数量方法 · 第 5 章

资产收益率的统计特征（Statistical Characteristics of Asset Returns）

CFA 一级 · 数量方法 · 第 5 章 · 约 58 分钟

数量方法中文讲义（PDF）153 页 · 5.3 MB · 免费，无需注册 · 全部 PDF

本章学习目标

LOS 5.a 计算、解读和评价集中趋势与位置指标（均值、中位数、众数、截尾均值和缩尾均值、分位数），并判断哪种指标适合给定的数据。
LOS 5.b 描述、解读和评价偏度与峰度，以及它们对收益率分布的均值、中位数、众数和尾部风险的影响。
LOS 5.c 计算、解读和评价协方差与相关性，包括相关性的局限（只反映线性关系、不代表因果关系、伪相关）以及散点图的用法。
LOS 5.d 计算、解读和评价半方差、目标下行偏差和变异系数，用它们衡量下行风险和相对风险。

模块 5.1

集中趋势指标（Measures of Central Tendency）

本章用集中趋势指标（measures of central tendency）和位置指标（measures of location）概括收益率分布，包括均值（mean）、中位数（median）、众数（mode）、截尾均值（trimmed mean）、缩尾均值（winsorized mean）和分位数（quantile）；再用离散程度（dispersion）指标描述分布，包括极差（range）、平均绝对偏差（mean absolute deviation, MAD）、方差（variance）和标准差（standard deviation）；并解读偏度（skewness）和峰度（kurtosis）。随后计算两个变量的协方差（covariance）和相关性（correlation），用目标下行偏差（target downside deviation）衡量下行风险，用变异系数（coefficient of variation, CV）衡量相对离散程度。

LOS 5.a — 集中趋势与位置（Central tendency and location）

集中趋势指标（Measures of Central Tendency）概括数据集的“中心”在哪里，用一个数代表典型值或期望值（expected value）。位置指标（分位数）描述某个观测值在分布中所处的位置。

总体与样本

**总体（population）**是所关心的全部个体（例如某基金有史以来的全部月度收益率）。**样本（sample）**是总体的一个子集（例如最近 36 个月）。用样本统计量推断总体参数。在所有集中趋势指标中，分析师最常用算术平均数（arithmetic mean）。

Sample mean: X ˉ = \frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i}}{n} Population mean: μ = \frac{\sum _{i = 1}^{N} X _{i}}{N}

三个经典指标

核心概念

指标	定义	是否受异常值（outliers）影响？	说明
算术平均数	观测值之和除以观测值个数（每个值权重相同）	是；一个极端值就可能让它大幅变动	样本均值（sample mean）就是算术平均数
中位数	数据排序后位于中间的值；个数为偶数时，取中间两个值的平均	否；它是稳健估计量（robust estimator）（有异常值，或数据来自与假设不同的分布时，结果仍然可靠）	一半观测值在它之上，一半在它之下
众数	出现次数最多的值	否	一个数据集可以有一个众数、两个众数（双峰（bimodal））、多个众数，也可以没有众数

收益率这类连续数据很少出现完全相同的值，所以先把结果分到若干区间，再报告众数区间（modal interval），即包含观测值最多的区间。

**几何平均数（geometric mean）**衡量收益率的复合增长率。它和算术平均数一样用到每个观测值，所以也会被极端值拉动。

例：六个月的月度收益率：4%、−1%、7%、4%、2%、20%。

均值 $= 36/6 = 6.0%$ 。
排序：−1、2、4、4、7、20，所以中位数（median） $= (4 + 4) /2 = 4.0%$ 。
众数（mode） $= 4%$ （出现两次）。
单独一个 20% 的月份把均值拉到中位数和众数之上。把 20% 换成 9%，均值降到 4.17%，中位数和众数仍是 4%。

异常值的处理

异常值是异常大或异常小的观测值。它可能来自测量、录入或抽样误差，也可能只是数据本身的真实波动。如果是错误，它会扭曲均值。如果数据测量无误，保留全部数值可能更好，因为删掉真实的观测值会丢掉分布的信息。

截尾均值：按设定比例剔除两端的极端观测值（两端各占一半），再对剩下的值求平均。截尾识别异常值的方法客观，但可能丢掉有用的信息。4% 截尾均值剔除最低的 2% 和最高的 2%。分母是剩下的观测值个数。
缩尾均值：保留所有观测值，但用百分位数（percentile）的值替换极端值。算 96% 缩尾均值时，低于第 2 百分位数的值设为第 2 百分位数的值，高于第 98 百分位数的值设为第 98 百分位数的值；然后对全部 $n$ 个值求均值。

核心概念

	截尾均值	缩尾均值
极端值	剔除	用百分位数的值替换
参与平均的值的个数	少于 $n$	全部 $n$ 个
保留的信息	较少	较多

异常值只有少数几个时，缩尾均值比算术平均数或截尾均值更能代表中心。两种调整都会让估计值远离极端值所在的一侧：少数几个很大的正值会让截尾/缩尾均值低于算术平均数；少数几个很大的负值会让它高于算术平均数。

分位数

分位数是一个分界值：给定比例的观测值小于或等于它。中位数是第 50 百分位数，也是第二个四分位数（quartile）和第五个十分位数（decile）。

核心概念

分位数	把数据分成	例子
四分位数	4 份	第 3 四分位数 = 第 75 百分位数
五分位数（quintile）	5 份	第 1 五分位数 = 第 20 百分位数
十分位数	10 份	第 9 十分位数 = 第 90 百分位数
百分位数	100 份	位于第 70 百分位数的观测值，有 70% 的观测值低于它

每个分位数都按“小于或等于它的观测值占比”命名，所以位置顺序固定：第一个十分位数（第 10 百分位数）、第一个五分位数（第 20）、第一个四分位数（第 25）、中位数（第 50）。较低位置的分位数可以等于、但绝不会超过较高位置的分位数。

**四分位距（interquartile range, IQR）**从第一个四分位数（第 25 百分位数）到第三个四分位数（第 75 百分位数），宽度为 $Q_{3} - Q_{1}$ 。它包含中间 50% 的数据。

**箱线图（box and whisker plot）**画一个跨越四分位距的箱子，箱内一条线标出中位数，须线延伸到最小和最大观测值（即整个极差）。某一侧的须线明显更长，提示那一侧有异常值。

Horizontal box and whisker plot of annual returns on an axis from −4% to 16%. Minimum −4.0%, first quartile (25th percentile) 1.5%, median (50th percentile) 3.5%, third quartile (75th percentile) 6.0%, maximum 15.0%. The box spans the interquartile range, 6.0 − 1.5 = 4.5 percentage points, which holds the central 50% of returns, with the median drawn as a line inside it. The lower whisker runs 5.5 points from −4.0% to 1.5%; the upper whisker runs 9.0 points from 6.0% to 15.0%, much longer, which suggests high outliers. — Reading a box and whisker plot: annual returns with a long upper whisker

平稳性

数据**平稳（stationary）时统计推断效果最好：其背后分布的均值和方差（variance）不随时间变化。如果均值和方差会变，序列就是非平稳（nonstationary）**的，基于它的预测或检验就不那么可靠。向上有趋势的价格或指数水平值通常是非平稳的；它们按期计算的百分比变动平稳的可能性要大得多。

常见考试陷阱

把排序后数据的中间值叫作均值。它是中位数（median）；个数为偶数时，取中间两个值的平均。
以为等于中位数（median）的值也等于均值。两者可能接近但不相等，先算出均值再选。
以为只改变最大（或最小）观测值时中位数（median）会变。只要这个值的排位不变，变的只有均值。
算 X% 截尾均值时从两端各剔除 X%。正确做法是从每一端剔除 X/2%。
把缩尾均值当成剔除了极端值（个数仍是 $n$ ），或者把百分位数理解为高于该值的观测值占比。
把平稳性和“均值等于中位数（median）”或“均值等于几何平均数（geometric mean）”联系起来。平稳性说的是均值和方差（variance）在时间上保持稳定。

答题技巧

只改变最大或最小的观测值，均值会变，中位数不变，前提是这个值的排位不变。
分位数的位置顺序固定（第一个十分位数、第一个五分位数、第一个四分位数、中位数），把较低分位数排在较高分位数之上的选项可以直接排除。
少数几个很大的正值会让截尾均值和缩尾均值低于算术平均数，少数几个很大的负值会让它们高于算术平均数。

本节要点

算术平均数给每个观测值相同的权重，受异常值影响；中位数（median）是排序后数据的中间值（个数为偶数时取中间两个值的平均），是稳健估计量。
众数是出现次数最多的值；数据集可以有一个众数、两个众数（双峰）、多个众数或没有众数；连续数据报告众数区间。
截尾均值按设定比例剔除两端的极端观测值（两端各占一半），再对其余的值求平均；缩尾均值用百分位数的值替换极端值，再对全部 $n$ 个观测值求平均。
异常值只有少数几个时，缩尾均值比算术平均数或截尾均值更能衡量中心。
分位数是一个分界值，给定比例的观测值小于或等于它；四分位距 $Q_{3} - Q_{1}$ 包含中间 50% 的数据。
平稳数据的均值和方差（variance）不随时间变化；有趋势的价格水平值通常是非平稳的，而它们按期计算的百分比变动平稳的可能性大得多。

随堂小测

第 1 题核心

The table below shows one-year returns for seven equity funds.

One-year returns of seven equity funds

Fund	Return (%)
Harbor Growth	5
Juniper Value	11
Lakeview Income	10
Meridian Core	11
Northgate Select	15
Oakmont Small Cap	3
Pinecrest Global	17

Which of the following statements about these returns is most accurate?

查看答案和解析

正确答案： C

排序后的收益率为 3、5、10、11、11、15、17。中间（第四个）值是 11%，而 11% 也是唯一出现两次的值，所以中位数（median）和众数（mode）都是 11%。均值更低，约为 10.29%。

排序：3、5、10、11、11、15、17。第四个值就是中位数， $11%$ 。

众数 $= 11%$ （出现两次）。

X ˉ = \frac{5 + 11 + 10 + 11 + 15 + 3 + 17}{7} = \frac{72}{7} = 10.29%

其他选项为什么错

A. 均值（10.29%）低于中位数（11%），因为 3% 和 5% 这两个低收益率把平均值拉低了。
B. 均值（10.29%）不等于众数（11%）。

本题要点三个指标都要实际算出来；均值很少恰好等于某个观测值。

模块 5.2

离散程度、偏度与峰度（Dispersion, Skewness, and Kurtosis）

LOS 5.a — 离散程度指标

**离散程度（dispersion）**是观测值围绕其集中趋势的波动。在投资中，集中趋势衡量回报，离散程度衡量风险。

极差与平均绝对偏差

range = maximum value - minimum value

**极差（range）**计算简单，但它只用到最极端的两个观测值，看不出两者之间的数值如何分布。

**平均绝对偏差（mean absolute deviation, MAD）**是各观测值与算术平均数（arithmetic mean）距离的平均，不考虑正负号：

MAD = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ∣ X _{i} - X ˉ ∣}{n}

必须取绝对值，因为与均值的原始偏差加总后总是为零。MAD 为 5%，表示观测值平均偏离均值 5 个百分点。中位数绝对偏差（median absolute deviation） $Med (∣ X_{i} - Med (X)∣)$ 是更稳健的替代指标。

方差与标准差

方差（variance）是与均值偏差的平方的平均；平方消除了正负号，但会放大异常值（outliers），所以方差对异常值敏感。对资产收益率来说，方差越高，风险越大。方差的正平方根就是标准差（standard deviation），它和数据的单位相同（方差的单位是平方单位，例如“百分比的平方”）。

核心概念

	总体（population）	样本（sample）
方差	$σ^{2} = \frac{\sum _{i = 1}^{N} ( X _{i} - μ ) ^{2}}{N}$	$s^{2} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{n - 1}$
标准差	$σ = σ^{2}$	$s = s^{2}$

样本方差（sample variance）用 $n - 1$ 而不用 $n$ ，这叫作贝塞尔校正（Bessel's correction）。除以 $n$ 会系统性地低估总体（population）方差（小样本时尤其明显），成为有偏估计量（biased estimator）。除以 $n - 1$ 后， $s^{2}$ 是 $σ^{2}$ 的无偏估计量（unbiased estimator）。考试惯例：样本标准差 $s$ 也被说成 $σ$ 的无偏估计量。现行做法： $s$ 是 $σ$ 的标准估计，但无偏方差估计值的平方根略微向下偏；除非样本非常小，这个影响很小。

例：一个含四个年收益率的样本：10%、4%、−2%、12%。

均值 $= 24/4 = 6%$ 。偏差：4、−2、−8、6（合计 $= 0$ ）。
MAD $= (4 + 2 + 8 + 6) /4 = 5.0%$ 。
偏差平方和 $= 16 + 4 + 64 + 36 = 120$ 。
样本方差 $s^{2} = 120/3 = 40 (%^{2})$ ；样本标准差 $s = 40 = 6.32%$ 。
如果这些数据是整个总体： $σ^{2} = 120/4 = 30$ ， $σ = 5.48%$ 。
极差 $= 12 - (- 2) = 14$ 个百分点。

计算器（TI BA II Plus）： [2ND][DATA]，输入 X01 = 10、X02 = 4、X03 = −2、X04 = 12；[2ND][STAT]（1-V）后向下翻： $x ˉ = 6$ ， $S_{x} = 6.32$ （样本）， $σ_{x} = 5.48$ （总体）。

随时间缩放

按照时间平方根法则（root of time law），收益率相互独立时，方差随期间长度线性增长：日方差为 $σ^{2}$ 时， $T$ 天的方差为 $T σ^{2}$ ，标准差为 $σ T$ 。实际中，长期限的方差往往低于这条法则的预测。

LOS 5.b — 偏度与峰度

Four panels. Top left: a right-skewed (positively skewed) density with a long right tail; vertical lines mark the mode (about 2.0), the median (about 2.7) and the mean (3.0) from left to right, so mode < median < mean. Top right: the mirror image, a left-skewed (negatively skewed) density with a long left tail; from left to right the lines mark the mean, the median and the mode, so mean < median < mode. Bottom left: three densities with mean 0 and variance 1 plotted from −4 to +4 standard deviations: a leptokurtic curve (peak height about 0.49, excess kurtosis greater than 0), the normal (mesokurtic, kurtosis 3, peak about 0.40) and a platykurtic curve (flatter, peak about 0.32, excess kurtosis less than 0). Bottom right: zoom on the right tail from 2.75 to 4.5 standard deviations, showing the leptokurtic density above the normal density, which is above the platykurtic density (for example at 3.5 standard deviations roughly 0.004, 0.001 and almost 0). — Skewness and kurtosis: how shape shifts the mean, median and mode, and how tails compare with a normal curve

偏度

**对称（symmetrical）**分布在均值两侧形状相同，均值、中位数（median）和众数（mode）相等。分布对称时，某个亏损区间（例如零均值附近的 −6% 到 −4%）出现的频率，和对应的盈利区间（+4% 到 +6%）一样。**偏度（skewness）**衡量分布不对称的程度。

核心概念

形状	长尾	集中趋势指标的大小顺序	样本偏度
对称	无	均值 = 中位数 = 众数	0
正偏（positively skewed）（右偏）	右侧（很大的正异常值）	众数 < 中位数 < 均值	> 0
负偏（negatively skewed）（左偏）	左侧（很大的负异常值）	均值 < 中位数 < 众数	< 0

均值受异常值影响最大，所以会被拉向长尾一侧。在有偏的单峰（unimodal）分布中，中位数位于众数和均值之间。对收益率来说，正偏意味着超过一半的期间收益低于均值（中位数低于均值），而少数期间带来很大的收益。负偏正好相反：多数期间收益高于均值，偶尔出现的大额亏损把均值拉低。样本偏度是标准化偏差（standardized deviations）三次方的平均，其中 $s$ 是样本标准差（LOS 要求的是解读，不是计算）：

skewness = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (\frac{X _{i} - X ˉ}{s})^{3}

右偏数据的样本偏度为正，因为高于均值的偏差平均更大。判断偏斜方向有个快捷办法：比较众数（峰值）到极差（range）两端的距离，较长的一侧就是尾部。

峰度

**峰度（kurtosis）**衡量分布相对于正态分布（normal distribution）（峰度 $= 3$ ）有多尖、尾部有多厚。超额峰度（excess kurtosis） $=$ 峰度 $- 3$ 。峰度使用标准化偏差的四次方：

kurtosis = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (\frac{X _{i} - X ˉ}{s})^{4} excess kurtosis = kurtosis - 3

核心概念

术语	峰度	超额峰度	与正态分布相比的形状
尖峰厚尾（leptokurtic）	> 3	> 0（正）	更尖、尾部更厚：与均值的小偏差更多，很大的偏差也更多
中峰（mesokurtic）	= 3	= 0	与正态分布相同
低峰薄尾（platykurtic）	< 3	< 0（负）	更平（峰较低），尾部更薄

厚尾（fat tails）关系到风险：尖峰厚尾（leptokurtic）的收益率分布出现极端结果（大额收益和大额亏损都有）的频率，高于正态模型的预测。实际资产收益率往往既有偏度，又有超额峰度，所以假设正态分布的风险模型会低估极端亏损的概率。一般来说，负偏越严重、超额峰度越大，风险都越大。

常见考试陷阱

数据是样本（sample）却除以 $n$ ，或数据是整个总体（population）却除以 $n - 1$ 。对上面四个样本收益率，除以 4 得到的标准差（standard deviation）是 5.48%，而不是 6.32%。
MAD 除以 $n - 1$ ，或者对带正负号的偏差求平均（它们加总总是为零）。在上例中会得到 $20/3 = 6.67%$ ，而不是 5.0%。
题目问标准差（方差的平方根），却停在方差（variance）。在上例中会答成 40（%²），而不是 6.32%。
把峰度（kurtosis）和 0 比较，而不是和 3 比较（只有超额峰度才和 0 比较）。峰度为 2.5 时，虽然数字为正，分布仍是低峰薄尾（platykurtic）。
把均值放错一侧：正偏时均值是三个指标中最大的，负偏时是最小的。
把一个很低的异常值（例如一个很差的分数）当成正偏。它造成的是负偏，并把均值拉到中位数之下。

答题技巧

在有偏的单峰分布中，中位数位于众数和均值之间，均值在长尾一侧，所以偏斜方向一确定，三个指标的大小顺序也就确定了。

本节要点

极差（range）是最大值减最小值，只用到两个极端观测值；平均绝对偏差 $\sum ∣ X_{i} - X ˉ ∣ / n$ 是与均值的偏差（不计正负号）的平均。
样本方差（sample variance）用与均值偏差的平方和除以 $n - 1$ （贝塞尔校正），这样 $s^{2}$ 是 $σ^{2}$ 的无偏估计量；总体（population）方差除以 $N$ 。
方差（variance）的正平方根是标准差（standard deviation），它和数据的单位相同，而方差是平方单位。
按照时间平方根法则，收益率相互独立时， $T$ 个期间的方差（variance）为 $T σ^{2}$ ，标准差（standard deviation）为 $σ T$ ，但实际中长期限的方差往往更低。
正偏分布有一条长的右尾，众数 < 中位数 < 均值；负偏分布有一条长的左尾，均值 < 中位数 < 众数；对称分布三者相等。
正态分布的峰度为 3；超额峰度（excess kurtosis） = 峰度 − 3；尖峰厚尾（leptokurtic）分布（峰度高于 3）尾部更厚；负偏越严重、超额峰度越大，风险都越大。

随堂小测

第 2 题核心

A histogram of a biotech fund's daily returns shows a long tail stretching to the right, created by a few very large gains. For this unimodal distribution, which relationship among the measures of central tendency is most likely?

查看答案和解析

正确答案： C

长的右尾说明分布正偏。很大的正异常值把均值拉高得最多，中位数次之，众数（峰值）完全不动，所以均值 > 中位数 > 众数。

其他选项为什么错

A. 这个顺序描述的是有一条长左尾的负偏分布。
B. 三个指标相等描述的是对称分布，对称分布没有长尾。

本题要点正偏（右偏）：众数 < 中位数 < 均值。

模块 5.3

协方差、相关性与其他离散程度指标（Covariance, Correlation, and Alternative Measures of Dispersion）

LOS 5.c — 协方差与相关性

散点图

**散点图（scatter plot）把两个变量的成对观测值画在图上，每个变量对应一条坐标轴。它能让人一眼看出两个变量是否同向变动，关系是否大致呈直线，以及是否存在相关系数（correlation coefficient）反映不出来的非线性（nonlinear）**关系。

Scatter plots: no relationship, a strong linear relationship, and a nonlinear relationship with near-zero correlation

协方差

**协方差（covariance）**衡量两个变量如何共同变动：

Cov_{X Y} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( X _{i} - X ˉ ) ( Y _{i} - Y ˉ )}{n - 1} (sample)

（总体（population）版本使用总体均值，并除以 $N$ 。）协方差为正，说明两个变量往往同时高于（或低于）各自的均值；协方差为负，说明它们往往反向变动。

例：基金 X 的四个年收益率为 6%、−2%、10% 和 2%，基金 Y 为 5%、1%、9% 和 1%。两者的均值都是 4%。

与均值的偏差（百分点）：基金 X 为 2、−6、6、−2；基金 Y 为 1、−3、5、−3。
把每一对偏差相乘再加总： $2 + 18 + 30 + 6 = 56$ 。
除以 $n - 1 = 3$ ： $Cov_{X Y} = 56/3 = 18.67$ （%²）。

每个交叉乘积都是正的，所以两只基金在相同的年份同时高于或低于各自的均值。

协方差不好解读：它的大小取决于数据的单位，单位又是两个变量单位的乘积（例如百分比的平方）。协方差为 30，只说明共同变动的方向，说明不了强度。协方差没有上限，也没有下限。一个变量与自身的协方差就是它的方差（variance）： $Cov_{X X} = s_{X}^{2}$ 。

取值	含义
$ρ = + 1$	完全正相关（perfect positive correlation）：与均值的偏差同方向、严格按比例变动；所有点都落在同一条向上倾斜的直线上，不论直线陡峭还是平缓
$0 < ρ < 1$	正向线性关联； $ρ$ 越接近 1，关联越强
$ρ = 0$	没有线性关系（no linear relationship）
$- 1 < ρ < 0$	负向线性关联
$ρ = - 1$	完全负相关（perfect negative correlation）：所有点都落在同一条向下倾斜的直线上

LOS 5.d — 下行风险与相对离散程度

半方差与目标下行偏差

方差和标准差对高于均值和低于均值的偏差一视同仁。有些情况下，只计入低于均值或低于某个设定目标的结果更有用，这衡量的是下行风险（downside risk）。

半方差（semivariance）：只用低于均值的结果计算的方差。把低于均值的观测值的偏差平方加总，再除以样本（sample）容量：

σ_{semi}^{2} = \frac{\sum _{X_{i} < X ˉ} ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{n}

它的平方根是半标准差（semideviation），是标准差在下行方向上的对应指标。

目标下行偏差（target downside deviation）（也叫目标半标准差（target semideviation））：和标准差类似，但只有低于设定目标 $B$ 的结果计入；分母仍是整个样本容量减一：

s_{target} = \frac{\sum _{X_{i} < B} ( X _{i} - B ) ^{2}}{n - 1}

例：五个年收益率：12%、−4%、7%、3%、10%；目标为 6%。只有 −4% 和 3% 低于目标：差额的平方 $= 100 + 9 = 109$ 。 $s_{target} = 109/4 = 27.25 = 5.22%$ 。把目标提高到 8%，7% 的收益率也被计入，另外两个差额也变大： $(144 + 25 + 1) /4 = 42.5 = 6.52%$ 。提高目标绝不会降低目标下行偏差。

变异系数

均值收益率相差很大的资产，直接比较标准差可能产生误导。**相对离散程度（relative dispersion）**指标用均值对风险做缩放。**变异系数（coefficient of variation, CV）**为：

核心概念

C V = \frac{s}{X ˉ} (or \frac{σ}{μ})

它衡量每单位平均收益率承担的风险（risk per unit of mean return），所以 CV 越低越好（每单位收益率承担的风险更少）。它是两个同单位数值之比，所以没有单位，可以写成小数，也可以写成百分比。夏普比率（Sharpe ratio，见 Reading 8）把 CV 倒过来：用超过无风险利率（risk-free rate）的超额收益率（excess return）除以标准差。无风险利率为零时，CV 就是夏普比率的倒数。题目给出夏普比率和无风险利率时，先求出 $s = (X ˉ - R_{f}) / Sharpe ratio$ ，再除以均值。

例：基金 M 的均值为 5%，标准差为 4%，所以 $C V = 0.80$ 。基金 N 的均值为 11%，标准差为 7.7%，所以 $C V = 0.70$ 。基金 N 的标准差更高，但 CV 更好（更低）。

指标	用到的数据	尺度
标准差	与均值的全部偏差	绝对（与数据单位相同）
目标下行偏差	只用低于目标的差额	绝对
变异系数	标准差 ÷ 均值	相对（每单位收益率）

常见考试陷阱

把 CV 倒过来算，或者用方差去算。CV $=$ 标准差 ÷ 均值；题目给的是方差时，先开平方。对基金 M，倒过来算得 $5/4 = 1.25$ ，用方差 16（%²）算得 3.20，正确答案是 0.80。
减去题目给出的无风险利率。CV 用的就是均值本身；超额收益率除以标准差是夏普类比率，是另一个指标。
把标准差最低的资产当成风险收益权衡最好的，或者把标准差最高的资产当成相对风险最高的。两者都要用 CV 判断。
用协方差（covariance）除以一个方差（斜率类比率）或除以两个方差的乘积，而不是除以两个标准差的乘积。在两只基金的例子中， $0.0021/ (0.0036 \times 0.0100) = 58.33$ ， $0.0021/0.0036 = 0.58$ ，正确答案是 0.35。
把接近零的相关系数当成两个变量无关的证据。它只排除了线性关系。
目标下行偏差（target downside deviation）除以低于目标的结果个数（或这个个数减一），而不是整个样本容量减一。在目标为 6% 的例子中，会得到 $109/2 = 7.38%$ ，而正确答案是 $109/4 = 5.22%$ 。

答题技巧

无风险利率为零时，CV 是夏普比率的倒数，知道一个就能直接得出另一个。
目标提高，目标下行偏差不会变小；提高目标反而使它下降的选项可以排除。

本节要点

样本协方差（covariance）为 $\sum (X_{i} - X ˉ) (Y_{i} - Y ˉ) / (n - 1)$ ；它的正负号显示共同变动的方向，但大小取决于单位，而且没有上限或下限。
相关系数 $ρ_{X Y} = Cov_{X Y} / (s_{X} s_{Y})$ 没有单位，在 −1 和 +1 之间， $ρ = 0$ 表示没有线性关系。
相关不等于因果；异常值（outliers）可能制造或抹掉相关性（correlation）；伪相关是偶然产生的，或者因为两个变量都与第三个变量有关。
散点图能显示相关系数反映不出来的非线性关系。
半方差只用低于均值的结果；目标下行偏差（target downside deviation）只用低于目标 $B$ 的结果，但分母仍用整个样本容量减一。
变异系数（coefficient of variation, CV） $C V = s / X ˉ$ 衡量每单位平均收益率承担的风险，没有单位，CV 越低越好。

随堂小测

第 3 题核心

The covariance between the returns on Norland Utilities and Quarry Point Materials is 21.6 (percent squared). The standard deviation of Norland's returns is 8% and that of Quarry Point's returns is 6%. The correlation coefficient of the two return series is closest to:

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正确答案： B

相关系数把协方差（covariance）除以两个标准差的乘积，对协方差做标准化。

ρ = \frac{Cov}{σ _{N} σ _{Q}} = \frac{21.6}{8 \times 6} = \frac{21.6}{48} = 0.45

其他选项为什么错

A. +0.34 是只用 Norland 的方差去除协方差（ $21.6/64$ ）。
C. +0.60 是只用 Quarry Point 的方差去除协方差（ $21.6/36$ ）。

本题要点 $ρ = Cov / (σ_{1} σ_{2})$ ；只除以一个方差，得到的是斜率类比率。

练习题

第 4 题核心

Priya Raman plans to model the monthly percentage changes in a copper price index. Her statistical tests will be most reliable if the series is stationary, which means that:

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正确答案： C

如果其背后分布的均值和方差（variance）不随时间变化，数据就是平稳的。这些特征发生变化时，序列就是非平稳的，用过去的数据推断未来结果就不可靠。所以分析师通常对百分比变动建模，而不是对有趋势的价格水平值建模。

其他选项为什么错

A. 只有所有观测值都相同时，几何平均数（geometric mean）才等于算术平均数；这和平稳性无关。
B. 中位数（median）总是在四分位距之内，均值通常也在，除非数据极度偏斜。这一点说明不了分布是否随时间保持稳定。

本题要点平稳 = 均值和方差随时间保持稳定。价格水平值通常是非平稳的；收益率（百分比变动）更可能是平稳的。

第 5 题核心

A multi-asset portfolio produced the returns shown below over the last four years.

Annual returns of a multi-asset portfolio (sample)

Year	Return
1	19.0%
2	7.5%
3	−9.6%
4	4.9%

Treating these returns as a sample, their coefficient of variation is closest to:

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正确答案： C

变异系数（coefficient of variation, CV）是样本标准差除以平均收益率。这些收益率是样本，所以标准差的分母用 $n - 1$ 。

均值 $= (19.0 + 7.5 - 9.6 + 4.9) /4 = 21.8/4 = 5.45%$ 。

年份	收益率	（收益率 − 5.45） $^{2}$
1	19.0	183.60
2	7.5	4.20
3	−9.6	226.50
4	4.9	0.30
	合计	414.61

s = \frac{414.61}{4 - 1} = 138.20 = 11.76% \frac{s}{X ˉ} = \frac{11.76}{5.45} = 2.16

其他选项为什么错

A. 0.46 把比率倒过来了： $5.45/11.76$ 。
B. 1.87 用的是总体（population）标准差， $414.61/4 = 10.18%$ ，得到 $10.18/5.45$ ；但题目要求把这些收益率当作样本。

本题要点样本变异系数：先用 n − 1 算出 s，再除以均值。

本章题库共 60 道题。去题库全部练习。

本章要点

三个指标都要实际算出来；均值很少恰好等于某个观测值。
平稳 = 均值和方差随时间保持稳定。价格水平值通常是非平稳的；收益率（百分比变动）更可能是平稳的。
正偏（右偏）：众数 < 中位数 < 均值。
$ρ = Cov / (σ_{1} σ_{2})$ ；只除以一个方差，得到的是斜率类比率。
样本变异系数：先用 n − 1 算出 s，再除以均值。

本章学习目标

集中趋势指标（Measures of Central Tendency）

LOS 5.a — 集中趋势与位置（Central tendency and location）

总体与样本

三个经典指标

异常值的处理

分位数

平稳性

常见考试陷阱

答题技巧

本节要点

离散程度、偏度与峰度（Dispersion, Skewness, and Kurtosis）

LOS 5.a — 离散程度指标

极差与平均绝对偏差

方差与标准差

随时间缩放

LOS 5.b — 偏度与峰度

偏度

峰度

常见考试陷阱

答题技巧

本节要点

协方差、相关性与其他离散程度指标（Covariance, Correlation, and Alternative Measures of Dispersion）

LOS 5.c — 协方差与相关性

散点图

协方差

相关性

相关性的局限

LOS 5.d — 下行风险与相对离散程度

半方差与目标下行偏差

变异系数

常见考试陷阱

答题技巧

本节要点

练习题

本章要点