数量方法 · 第 1 章

金融资产与金融工具的收益率（Returns of Financial Assets and Instruments）

CFA 一级 · 数量方法 · 第 1 章 · 约 53 分钟

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本章学习目标

LOS 1.a 描述、比较和解读各类收益率：价格收益率、资本分配收益率和总收益率；事前与事后收益率、已实现与未实现收益率；算术平均数与几何平均数；年化收益率与连续复利收益率。
LOS 1.b 描述、比较和解释必要收益率、实际与名义无风险利率、风险溢价和通货膨胀，以及实际收益率、超额收益率、总费前/费后收益率、税后收益率和杠杆收益率等收益率指标。

模块 1.1

收益率（Rates of Return）

本章讲单期和多期收益率的衡量：持有期收益率（holding period return, HPR）、算术平均数（arithmetic mean）与几何平均数（geometric mean）、年化收益率（annualized return）和连续复利收益率（continuously compounded return）。随后把必要收益率（required return）拆成实际无风险利率（real risk-free rate）、预期通货膨胀（expected inflation）和风险溢价（risk premia），并计算实际、超额、费前、费后、税后和杠杆收益率。

LOS 1.a — 收益率的衡量与比较

1. 资产、工具与指标

可以计算收益率的对象分为三类，彼此有重叠：

类别	含义	常见例子	本身是否产生现金流？
金融资产（financial assets）	投资者可以持有、有价值的东西	现金、权益（equity）、贷款/债权（对贷款人是资产）、混合证券（hybrid securities）	通常会产生：股息（dividends）、利息、本金（principal）
金融工具（financial instruments）	标准化、可交易的载体，金融资产通过它们在市场上转手	权益证券和债务证券（股票、债券）、交易所交易的期货及其他标准化合约	证券可能支付股息或票息（coupon）；标准化合约不一定支付任何款项
金融指标（financial indicators）	可观察的价值度量，不向任何人支付现金	利率、汇率（exchange rate）、市场指数点位	不产生；用来给其他对象估值

机器、建筑物或卡车是实物资产（real asset），既不是金融工具（financial instruments），也不是金融指标（financial indicators）。

2. 单期收益率

资产的收益有两个来源：价格变动（即价格收益率（price return），也叫资本增值收益率（capital appreciation return））和资产支付的现金。一期的**总收益率（total return）**是两者之和。

Price return = \frac{P _{1} - P _{0}}{P _{0}} Capital distribution return = \frac{D}{P _{0}}

核心概念

Total (holding period) return = \frac{P _{1} - P _{0} + D}{P _{0}} = price return + capital distribution return

资本分配收益率（capital distribution return）衡量一期的现金收入占期初价格的比例。股票的这一指标是股息收益率（dividend yield），债券的是当期收益率（current yield）。每一部分都除以期初价格 $P_{0}$ 。 $D$ 是买入到卖出之间实际收到的全部现金：把这段时间内支付的每笔票息或股息（dividends）都加上，期外支付的一笔都不算。

*例：*以 97.00 买入一只债券，一年内收到票息 1.50 和 1.50，然后以 98.20 卖出。价格收益率 $= 1.20/97 = 1.24%$ ；分配收益率 $= 3.00/97 = 3.09%$ ；总收益率 $= 4.20/97 = 4.33%$ 。

持有期收益率（holding period return, HPR）衡量整个持有期的收益，不论持有期多长。只有在需要年化时，期间长短才有影响。

收益率的其他说法

对比	含义
已发生收益率（actual return）（事后收益率（ex post return））与预期收益率（expected return）（事前收益率（ex ante return））	事后收益率用已经观察到的价格和收入计算；事前收益率是对未来一期的估计。决策依据的是预期收益率，预期与实际结果之间的差距代表风险。
已实现收益率（realized returns）与未实现收益率（unrealized return）	已实现＝已经到手的现金（收到的收入、卖出所得）。未实现＝仍在持有的头寸按当前市价计算的账面盈亏。收入通常在收到时征税，价格上涨部分通常只在卖出实现后才征税。
实际（real）与已实现（realized）	实际指经过通货膨胀调整（LOS 1.b）。不要和已实现混淆。

3. 多期收益率的平均

核心概念

R ˉ_{arith} = \frac{R _{1} + R _{2} + \dots + R _{n}}{n} R_{geo} = [(1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{n})]^{1/ n} - 1

几何平均收益率（geometric mean return）（又称复合平均收益率（compound average return））是把期初价值变成期末价值的每期固定收益率： $(1 + R_{geo})^{n}$ 等于 1 加上全部 $n$ 期合起来的持有期收益率。计算年化收益率或**复合年增长率（compound annual growth rate）**时用它。
**算术平均收益率（arithmetic mean return）**把各期收益率相加，再除以期数。它不考虑复利：隐含假设投资金额一直停在期初水平，而实际上盈亏和现金流都会改变投资金额。所以它可能高估投资者实际赚到的收益。
根据算术-几何平均不等式原理（arithmetic-geometric mean inequality principle）， $R_{geo} \leq R ˉ_{arith}$ 。收益率越分散，两者差距越大；只有各期收益率完全相同时，两者才相等。
每期以财富相对值（wealth relative） $1 + R$ 进入连乘。亏损保留负号：−6% 的年份以 0.94 代入。

*例：*收益率为 +25% 和 −20%：算术平均数（arithmetic mean） $= 2.5%$ ，但 $1.25 \times 0.80 - 1 = 0%$ 。€1,000 涨到 €1,250，又跌回 €1,000。财富没有变化，只有几何平均数反映了这一点。

几何平均数开方的次数等于期数。如果每期是一个季度，结果就是平均季度复合收益率。要用几个短于一年的收益率求年收益率，开方次数应等于覆盖的年数。八个季度收益率对应的年收益率是 $[\prod (1 + R_{q})]^{1/2} - 1$ 。用计算器（TI BA II Plus）开立方：1.1 [y^x] 3 [1/x] [=]。

4. 持有期收益率的年化

利率和市场收益率通常以年化收益率报价，无论实际期间多长。年化之后，期限不同的投资才能相互比较。期间不到一年时，年化假设一年中余下的每一期都再赚到同样的收益率，而实际收益率很少如此。

Annualized return = (1 + H P R)^{365/ days} - 1 or (1 + R_{period})^{c} - 1

其中 $c$ 是一年包含的期数（按月为 12，按季为 4，按半年为 2）。调整的方向取决于 HPR 的正负：

核心概念

持有期	HPR 为正	HPR 为负（介于 −100% 与 0 之间）
长于一年（指数 < 1）	年化收益率小于 HPR	年化收益率没有 HPR 那么负（更接近零）
短于一年（指数 > 1）	年化收益率大于 HPR	年化收益率比 HPR 更负

HPR 为零，年化后仍为零。经验法则：长期间的年化把收益率拉向零；短期间的年化把收益率推离零。

*例：*146 天赚 2%： $1.0 2^{365/146} - 1 = 1.0 2^{2.5} - 1 = 5.08%$ 。月收益率 0.6%： $1.00 6^{12} - 1 = 7.44%$ （不是 $12 \times 0.6% = 7.2%$ ）。整整两年亏损 15.36%：每年 $0.846 4^{1/2} - 1 = - 8.00%$ ，高于 −15.36%（负得更少）。

5. 复利频率（compounding frequency）与连续复利（continuous compounding）

名义年利率（stated annual rate，即报价年利率）为正且给定时，复利越频繁，有效年利率（effective annual rate, EAR）越高，终值（future value, FV）越高，现值（present value, PV）越低。极限情形是连续复利，其有效年利率 $e^{r} - 1$ 高于任何离散复利频率（compounding frequency）下的有效年利率。

一年复利 $m$ 次，每期利率等于名义年利率除以 $m$ 。按这个利率复利 $m$ 次，得到

Effective annual rate = (1 + \frac{r _{s}}{m})^{m} - 1 P V = \frac{F V}{( 1 + r _{s} / m ) ^{m}} (one year ahead)

第一个公式就是第 4 节的年化公式，取 $c = m$ 。

*例：*名义利率 4%，一年后到期的 2,000，现值为：按年复利 1,923.08；按季复利 1,921.96（ $2, 000/1.0 1^{4}$ ，有效年利率 $1.0 1^{4} - 1 = 4.06%$ ）；按月复利 1,921.71；按日复利 1,921.58；连续复利 $2, 000 e^{- 0.04} = 1, 921.58$ （有效年利率 $e^{0.04} - 1 = 4.08%$ ）。

比较连续复利利率和离散复利利率时，先把两者都换算成有效年利率。反过来，要得到某个有效年利率，对应的连续复利名义利率为 $r_{cc} = ln (1 + EAR)$ 。*例：*一笔存款报价 5%、按季复利，有效年利率为 $1.012 5^{4} - 1 = 5.09%$ 。连续复利存款要达到同样水平，名义利率应为 $ln (1.0509) = 4.97%$ 。

从持有期收益率转换为连续复利收益率（也叫对数收益率（logarithmic return），简称 log return）要用自然对数：

r_{cc} = ln (1 + H P R) and back: H P R = e^{r_{cc}} - 1

HPR 是总收益率，所以由它算出的对数收益率包含收入。如果期末只收到一笔分配 $D$ ，则 $r_{cc} = ln (\frac{P _{1} + D}{P _{0}})$ 。只有不支付任何分配时，才简化为 $r_{cc} = ln (P_{1} / P_{0})$ ，它本身只是价格对数收益率。*例：*100 买入，100 卖出，收到股息 5：价格对数收益率为 $ln (100/100) = 0$ ，总对数收益率为 $ln (105/100) = 4.88%$ 。

盈利时， $r_{cc} < H P R$ ；亏损时， $r_{cc}$ 比 HPR 更负（例如从 100 跌到 90：HPR $= - 10%$ ， $ln 0.9 = - 10.54%$ ）。
对数收益率可以跨期相加。财富相对值相乘， $P_{2} / P_{0} = (P_{1} / P_{0}) (P_{2} / P_{1})$ ，而乘积的对数等于各对数之和。所以没有分配时， $ln (P_{2} / P_{0}) = ln (P_{1} / P_{0}) + ln (P_{2} / P_{1})$ （一般情况下，是各子期间的 $ln (1 + H P R_{t})$ 相加）。每个子期间保留自己的符号（下跌贡献一个负项）。

*例：*价格从 50 涨到 60，再跌到 54： $ln (1.2) = 18.23%$ ， $ln (0.9) = - 10.54%$ ，合计 $= 7.70% = ln (54/50)$ 。

常见考试陷阱

用期末价格而不是期初价格作分母。在上面的债券例子里，用总收益 4.20 除以卖出价 98.20，得到 4.28%，而不是 4.33%。
漏算（或重复计算）股息（dividends）或票息；要核对哪些付款落在持有期内。
题目要持有期收益率（holding period return, HPR）却做了年化（或者反过来）。
用简单相乘（ $c \times R$ ）代替复利 $(1 + R)^{c} - 1$ ；题目说 365 天却用了 360 天；把指数颠倒成（天数/365）。146 天赚 2% 的例子中，指数颠倒得到 $1.0 2^{146/365} - 1 = 0.80%$ ，而不是 5.08%。
题目要复合（年化）收益率却给出算术平均数（arithmetic mean），忘了开方，或者丢掉亏损的负号。
计算连续复利收益率时用了 $e^{H P R} - 1$ 而不是 $ln (1 + H P R)$ ；或者有收入时仍用 $ln (P_{1} / P_{0})$ ，漏掉了分配。从 100 跌到 90 的例子中， $e^{- 0.10} - 1 = - 9.52%$ ，正确值是 $ln 0.9 = - 10.54%$ 。
以为年化一定会把多年收益率变小。只有盈利时才是这样。

答题技巧

年化收益率的方向不用计算就能知道：HPR 为正时，期间超过一年，年化后变小；不到一年，年化后变大。HPR 为负（介于 −100% 与 0 之间）时，期间超过一年，年化后负得更少；不到一年，负得更多。
同一组收益率的几何平均收益率不会超过算术平均收益率，所以几何平均数更高的选项可以直接排除。
盈利时对数收益率低于 HPR，亏损时比 HPR 更负；落在 HPR 错误一侧的选项可以排除。

本节要点

总（持有期）收益率为 $(P_{1} - P_{0} + D) / P_{0}$ ，等于价格收益率（price return）加资本分配收益率，每一部分都除以期初价格 $P_{0}$ 。
事后（已发生）收益率用已经观察到的价格和收入计算；事前（预期）收益率是对未来一期的估计。
几何平均收益率（geometric mean return） $[(1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{n})]^{1/ n} - 1$ 用于计算年化收益率或复合年增长率；它不会超过算术平均数（arithmetic mean），只有各期收益率完全相同时两者才相等。
持有期收益率（holding period return, HPR）用 $(1 + H P R)^{365/ days} - 1$ 年化，或者用 $(1 + R_{period})^{c} - 1$ ，其中一年有 $c$ 期；期间不到一年时，这样做假设余下的每一期都赚到同样的收益率。
名义年利率为正且给定时，复利越频繁，有效年利率（effective annual rate, EAR） $(1 + r_{s} / m)^{m} - 1$ 越高；连续复利最高，为 $e^{r} - 1$ 。
连续复利收益率为 $r_{cc} = ln (1 + H P R)$ ，只有不支付分配时才简化为 $ln (P_{1} / P_{0})$ ；对数收益率可以跨期相加。

随堂小测

第 1 题核心

A macro strategist's dashboard displays the central bank policy interest rate, the USD/JPY exchange rate and the level of the Euro Stoxx 50 index. These three items are best classified as:

查看答案和解析

正确答案： C

利率、汇率（exchange rate）和市场指数点位都是金融指标（financial indicators）：它们是可观察的价值度量，本身不产生任何现金流。它们的用处是给其他对象估值，例如属于金融工具（financial instruments）的证券和合约。

其他选项为什么错

A. 金融资产是投资者可以持有、有价值的东西，例如现金、股票或贷款。没有人能持有一个利率或一个指数点位，这些项目也不向任何人支付现金。
B. 金融工具是在市场上交易金融资产的标准化载体，例如上市股票、债券或标准化衍生品合约。指数点位或汇率是一个度量值，本身不能交易。

本题要点指标是观察到的度量（利率、汇率、指数点位）；工具是标准化、可交易的载体；资产是投资者持有的、有价值的东西。

模块 1.2

收益率的构成与衡量（Components and Measures of Return）

LOS 1.b — 必要收益率（required return）、无风险利率（risk-free rate）、风险溢价、通货膨胀（inflation）与其他收益率指标

1. 利率的三种理解

利率体现货币的时间价值（time value）；不同证券的风险不同，所以均衡利率也不同。利率可以理解为：

必要收益率（required rate of return）：储蓄者愿意出借或投资之前，至少要预期得到的收益率（即这项投资的市场均衡利率）；
折现率（discount rate）：把未来现金流换算成今天价值所用的利率（能以 7% 借钱的人，应当用 7% 折现未来的付款）；
当前消费的机会成本（opportunity cost of current consumption）：今天花钱而不储蓄所放弃的收益。

利率和折现率这两个词常常混用。利率里可能含有风险溢价（risk premium），但“风险的度量”不是上面三种理解之一。题目如果描述的是说服投资者投入资金所需的最低收益率，最合适的名称是必要收益率。

2. 必要收益率的组成部分

核心概念

Required return = nominal risk-free rate real risk-free rate + expected inflation + risk premium(s)

利率	是否包含预期通货膨胀？	是否包含违约、流动性等风险溢价？
实际无风险利率（real risk-free rate）	否	否；现金流没有任何不确定性
名义无风险利率（nominal risk-free rate）（例如短期政府票据）	是	否
风险资产的必要收益率	是	是

实际无风险利率只反映时间偏好（time preference），即人们在多大程度上更愿意现在消费，而不是以后消费同样多的东西。
短期政府票据（实际上）没有违约风险（default risk），但预期通货膨胀（expected inflation）不为零，所以它的收益率带有通货膨胀溢价（inflation premium）。因此它的收益率是名义无风险利率，不是实际无风险利率。
精确关系： $(1 + r_{nominal}) = (1 + r_{real}) (1 + π^{e})$ 。常用近似： $r_{real} \approx r_{nominal} - π^{e}$ 。
所以实际利率与名义无风险利率同向变动，与预期通货膨胀反向变动。票据收益率下降而预期通货膨胀上升时，实际利率下降。

常见的风险溢价

证券每多承担一种风险，就多一项对应的溢价（premium），必要收益率随之提高。下表只是举例，不是完整的清单。

债券	股票
违约风险溢价（default risk premium）：借款人可能不按时或不足额付款	规模风险溢价（size risk premium）：小盘股与大盘股之间的收益率差
流动性风险溢价（liquidity risk premium）：急于变现时，卖价可能低于公允价值（fair value）	价值风险溢价（value risk premium）：账面市值比（book-to-market）高的股票（价值股）与账面市值比低的股票（成长股（growth stocks））之间的收益率差
期限风险溢价（maturity risk premium）：期限越长的债券，价格对利率变动越敏感

**市场风险溢价（market risk premium, MRP）**在后面的章节会用到，等于市场组合（market portfolio，即全部风险资产）的收益率减去无风险资产（risk-free asset）的收益率。

*例：*实际无风险利率 1.5%，预期通货膨胀 2.5%，违约风险溢价 1.2%，流动性风险溢价 0.3%，期限风险溢价 0.5%：必要收益率 ≈ 1.5 + 2.5 + 1.2 + 0.3 + 0.5 = 6.0%。也可以这样算：名义无风险利率 4.0% 加上合计 2.0% 的溢价，等于 6.0%。

Stacked bar totalling 6.0%: real risk-free rate 1.5%, expected inflation 2.5% (together the 4.0% nominal risk-free rate), default risk premium 1.2%, liquidity risk premium 0.3% and maturity risk premium 0.5% (together 2.0% of risk premia). — Building a required return: nominal risk-free rate plus risk premia (example numbers)

3. 其他收益率指标

实际收益率（real return）

实际收益率（real return）衡量购买力的增长：

1 + r_{real} = \frac{1 + r _{nominal}}{1 + π} so π = \frac{1 + r _{nominal}}{1 + r _{real}} - 1

通货膨胀为正时，实际收益率低于名义收益率（nominal return）；出现通货紧缩（deflation）（ $π < 0$ ）时，实际收益率高于名义收益率。

*例：*一个组合的名义收益率为 6.0%，同期通货膨胀率为 2.5%。近似的实际收益率为 $6.0% - 2.5% = 3.5%$ ；精确的实际收益率为 $1.060/1.025 - 1 = 3.41%$ 。从购买力看，€1,000 增长到 €1,060，而一篮子商品的价格从 €1.00 涨到 €1.025，所以投资者能买 $1, 060/1.025 = 1, 034.1$ 篮，而不是 1,000 篮，多出 3.41%。

超额收益率（excess return）

超额收益率（excess return）是超出基准（benchmark）或参考利率的那部分收益率：近似为 $r - r_{b}$ ，精确为 $(1 + r) / (1 + r_{b}) - 1$ 。基金收益率 11%，基准收益率 7%，相减得到的超额收益率约为 4%，精确值为 $1.11/1.07 - 1 = 3.74%$ 。

总费前收益率与费后收益率

核心概念

指标	是否扣除交易佣金和其他为获取收益而发生的成本？	是否扣除管理费和行政费？
总收益率（total return）	否	否
总费前收益率（gross return）	是	否
费后收益率（net return）	是	是

税前与税后名义收益率

**税前名义收益率（pretax nominal return）**是缴税之前的收益率；**税后名义收益率（after-tax nominal return）**是缴纳应付税款之后剩下的部分。适用税率可能取决于投资所在国的税法，也可能取决于投资者本国的税法。股息（dividends）、利息、短期资本利得和长期资本利得的税率可能各不相同，许多国家对长期资本利得的征税比短期资本利得轻。资本利得适用一个税率（ $t_{c g}$ ），股息、利息等分配适用另一个税率（ $t_{d}$ ）时，税后名义收益率为：

r_{after-tax} = price return \times (1 - t_{c g}) + distribution return \times (1 - t_{d})

*例：*以 50 买入，收到股息 1.50，以 54 卖出。价格收益率（price return）8%，分配收益率 3%，税前收益率 11%。 $t_{c g} = 15%$ 、 $t_{d} = 30%$ 时： $8% \times 0.85 + 3% \times 0.70 = 6.80% + 2.10% = 8.90%$ 。如果全部收益都来自价格上涨，只适用资本利得税率。实务中，资本利得通常在实现时才征税，资本损失往往可以抵减利得。

杠杆收益率（leveraged return）

杠杆（leverage）指用借来的钱或衍生品（derivatives），控制比自有现金能买到的更多的资产。由此得到的杠杆收益率，是盈亏占投资者自有现金投入的百分比。假设投资者投入权益（equity） $V_{E}$ ，借入 $V_{D}$ ，借款利率为 $r_{D}$ ，全部资金获得无杠杆收益率（unleveraged return） $r_{P}$ ：

核心概念

r_{L} = \frac{r _{P} ( V _{E} + V _{D} ) - r _{D} V _{D}}{V _{E}} = r_{P} + \frac{V _{D}}{V _{E}} (r_{P} - r_{D})

*例：* $V_{E} = 600$ ， $V_{D} = 200$ ， $r_{D} = 5%$ 。若 $r_{P} = 9%$ ： $(72 - 10) /600 = 10.33%$ 。若 $r_{P} = - 3%$ ： $(- 24 - 10) /600 = - 5.67%$ 。两个结果都比无杠杆的 9% 和 −3% 离零更远。公式的第二种写法说明了原因：杠杆在无杠杆收益率上加了 $(V_{D} / V_{E}) (r_{P} - r_{D})$ 。亏损一定会被放大，因为利息成本会叠加上去；盈利只有在 $r_{P}$ 高于 $r_{D}$ 时才会被放大。

期货（futures）和期权（options）等衍生品同样产生杠杆收益率：存入的现金（保证金或期权费）只占标的资产（underlying）敞口价值的一小部分。

常见考试陷阱

在名义无风险利率（risk-free rate）上再加预期通货膨胀（重复计算），或者从实际利率出发时漏加预期通货膨胀。在上面的必要收益率例子里，把 2.5% 的预期通货膨胀加到 4.0% 的名义无风险利率上，得到 8.5%，而不是 6.0%。
把政府票据收益率称为实际利率。它是名义利率。
给短期工具加期限风险溢价。商业票据（commercial paper, CP）或其他与政府票据同时到期的短期工具，没有额外的期限风险，只加违约溢价（以及可能有的流动性溢价）。
混淆规模风险溢价（小盘与大盘）和价值风险溢价（账面市值比高与低），或者把股票的溢价算进债券的必要收益率。
从总费前收益率（gross return）算到费后收益率（net return）时，又扣了一次交易成本。
把两个税率用反，或者对总收益率（total return）用一个混合税率。在上面的税收例子里，税率用反会得到 $8% \times 0.70 + 3% \times 0.85 = 8.15%$ ，而不是 8.90%。
杠杆（leverage）公式中：对整个组合计息，而不是只对 $V_{D}$ 计息；把利息加上去而不是减掉；或者除以 $V_{D}$ 或 $V_{E} + V_{D}$ ，而不是除以 $V_{E}$ 。在 $r_{P} = 9%$ 的例子里，对全部 800 按 5% 计息得到 5.33%，用 62 除以 800 得到 7.75%，正确答案是 10.33%。

答题技巧

不用计算，看 $r_{P} - r_{D}$ 的符号就知道借款会放大还是缩小盈利：只有 $r_{P}$ 高于 $r_{D}$ 时盈利才会放大，亏损则一定放大。
实际利率与名义无风险利率同向变动，与预期通货膨胀反向变动。票据收益率下降、预期通货膨胀上升，不用算就知道实际利率下降。

本节要点

利率可以理解为必要收益率、折现率（discount rate）或当前消费的机会成本；风险的度量不是其中之一。
必要收益率 = 实际无风险利率 + 预期通货膨胀 + 风险溢价（risk premium），其中实际无风险利率加预期通货膨胀就是名义无风险利率，例如短期政府票据的收益率。
实际无风险利率只反映时间偏好，与名义利率的精确关系是 $(1 + r_{nominal}) = (1 + r_{real}) (1 + π^{e})$ ，近似关系是 $r_{real} \approx r_{nominal} - π^{e}$ 。
总费前收益率（gross return）扣除交易佣金和其他为获取收益而发生的成本，但不扣管理费和行政费；费后收益率（net return）两者都扣。
资本利得和分配适用不同税率时，税后名义收益率 = 价格收益率（price return） $\times (1 - t_{c g})$ + 分配收益率 $\times (1 - t_{d})$ 。
杠杆收益率为 $r_{L} = r_{P} + (V_{D} / V_{E}) (r_{P} - r_{D})$ ，是相对于投资者自有现金 $V_{E}$ 的盈亏。

随堂小测

第 2 题核心

Which statement about the real risk-free interest rate is most accurate? It:

查看答案和解析

正确答案： B

“无风险”排除了对现金流金额或时间的任何不确定性（因此没有违约风险），“实际”排除了对预期通货膨胀的任何补偿。所以实际无风险利率两者都不含，只反映时间偏好。

其他选项为什么错

A. 含有通货膨胀溢价、违约概率为零的利率是名义无风险利率（risk-free rate），不是实际无风险利率。
C. 流动性风险溢价是对某一类风险的补偿。无风险利率不含任何风险溢价（risk premium），流动性风险溢价也不例外。

本题要点实际无风险利率：不含通货膨胀，不含风险溢价。加上预期通货膨胀得到名义无风险利率；再加上风险溢价，得到风险资产的必要收益率。

练习题

第 3 题核心

Olivia Brandt put €50,000 into a sector fund that rose 20% in year one and then dropped 20% in year two. To express the true average yearly change in her wealth, she should use the:

查看答案和解析

正确答案： B

几何平均数考虑了复利，是把期初价值变成期末价值的每年固定收益率。本题为 $1.20 \times 0.80 - 1 = - 2.02%$ ，与她的 €50,000 先变成 €60,000、再变成 €48,000 一致。

第 1 年： $50, 000 \times 1.20 = €60, 000$ ；第 2 年： $60, 000 \times 0.80 = €48, 000$ 。

几何平均数： $(1.20 \times 0.80)^{1/2} - 1 = 0.9 6^{0.5} - 1 = - 2.02%$ 。验算： $50, 000 \times 0.979 8^{2} = €48, 000$ 。

其他选项为什么错

A. 算术平均数（arithmetic mean）为 $(20% - 20%) /2 = 0%$ ，意味着她的财富没有变化，可她最后只剩 €48,000，比初始金额少。算术平均数把每一年都当作投入同样的 €50,000。
C. 资本分配收益率只衡量现金收入（股息、利息）占期初价格的比例，反映不了两年间价格变动的复利效应。

本题要点涨跌幅相同的一次上涨和一次下跌，会让投资者亏钱；只有几何平均数能反映这一点。

第 4 题核心

A company must pay a supplier €250,000 in exactly one year. Its treasurer discounts this payment at a stated annual rate of 6%. Under which compounding convention will the present value of the payment be lowest?

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正确答案： B

名义年利率给定时，复利越频繁，用来折现现金流的有效利率越高。有效折现率越高，现值（present value, PV）越小（相应地，今天投入的一笔钱终值越大）。三种方式中按月复利最频繁，所以现值最低。

按年： $P V = 250, 000/1.06 = €235, 849.06$

按半年： $P V = 250, 000/ (1 + 0.06/2)^{2} = 250, 000/1.0609 = €235, 648.98$

按月： $P V = 250, 000/ (1 + 0.06/12)^{12} = 250, 000/1.061678 = €235, 476.33$

其他选项为什么错

A. 按年复利是频率最低的方式，所以现值最高：€235,849。
C. 按半年复利得到 €235,649。它低于按年复利，但仍高于按月复利，因为一年复利两次的有效折现率小于一年复利 12 次。

本题要点复利期数越多，有效利率越高，FV 越高，PV 越低。

第 5 题核心

The managers of the Arcadia Opportunities Fund are considering borrowing to raise the fund's investment exposure from €100 million of investor capital to €150 million. Compared with remaining unleveraged, this borrowing will most likely:

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正确答案： C

杠杆（leverage）让投资者能控制比自有资本多的资产。组合收益率高于借款成本时，自有资金的收益率上升；组合亏损时，较小的自有资金基数上的亏损更大。杠杆会把两个方向的结果都放大，不能防范亏损。

以 5% 的借款利率为例：组合收益率为 +10% 时，杠杆收益率为 $(15 - 2.5) /100 = + 12.5%$ ，无杠杆为 +10%；组合收益率为 −10% 时，杠杆收益率为 $(- 15 - 2.5) /100 = - 17.5%$ ，无杠杆为 −10%。

其他选项为什么错

A. 借款不能缓冲亏损。如果无杠杆组合亏损，基金仍然欠着借款本金和利息，所以投资者资本的亏损更大，而不是更小。
B. 组合收益率高于借款利率时，杠杆会提高投资者资本的收益率，所以好年份的盈利会被放大。

本题要点杠杆一定放大亏损；只要组合收益率高于借款利率，也会放大盈利。

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本章要点

指标是观察到的度量（利率、汇率、指数点位）；工具是标准化、可交易的载体；资产是投资者持有的、有价值的东西。
涨跌幅相同的一次上涨和一次下跌，会让投资者亏钱；只有几何平均数能反映这一点。
复利期数越多，有效利率越高，FV 越高，PV 越低。
实际无风险利率：不含通货膨胀，不含风险溢价。加上预期通货膨胀得到名义无风险利率；再加上风险溢价，得到风险资产的必要收益率。
杠杆一定放大亏损；只要组合收益率高于借款利率，也会放大盈利。