经济学 · 第 19 章

汇率计算（Exchange Rate Calculations）

CFA 一级 · 经济学 · 第 19 章 · 约 26 分钟

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本章学习目标

LOS 19.a 用两个（或多个）含有同一种货币的报价，计算并解释货币交叉汇率（cross rate）。
LOS 19.b 解释即期汇率（spot rate）、远期汇率（forward rate）和利率之间的无套利（no-arbitrage）关系；根据点数、百分比或利率计算远期汇率；解释远期升水（forward premium）和远期贴水（forward discount）。

模块 19.1

外汇汇率（Foreign Exchange Rates）

本节先用两个对同一第三种货币的报价计算货币交叉汇率。接着由即期汇率（spot rate）和两种货币的利率推出无套利远期汇率（forward rate），把以点数或百分比给出的远期报价换算成完整汇率（outright rate），并解释远期升水（forward premium）和远期贴水（forward discount）。

LOS 19.a — 货币交叉汇率

交叉汇率是由两种货币各自对第三种共同货币（通常是 USD 或 EUR）的汇率推出的这两种货币之间的汇率（exchange rate）。某个货币对本身没有活跃市场时，就要用交叉汇率。

**方法：让单位相互抵消。**把每个报价都写成“计价货币（price currency）/基础货币（base currency）”的形式，再排列各个报价，让共同货币抵消，剩下所求的货币对：

核心概念

\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}

报价方向不对，先取倒数： $B / A = 1/ (A / B)$ 。
两个报价的基础货币相同（如 A/USD 和 C/USD）：相除， $A / C = (A / USD) \div (C / USD)$ 。
两个报价的计价货币相同（如 USD/A 和 USD/C）：反过来相除， $A / C = (USD / C) \div (USD / A)$ 。
有三个报价时，依次连乘： $A / D = A / B \times B / C \times C / D$ 。

*例：*已知 1.3620 CAD/USD 和 0.7940 EUR/USD，求 CAD/EUR：

\frac{CAD}{EUR} = \frac{CAD}{USD} \times \frac{USD}{EUR} = 1.3620 \times \frac{1}{0.7940} = 1.7154

1 欧元约值 1.7154 加元。反向报价 EUR/CAD 为 $1/1.7154 = 0.5830$ 。

*合理性检查：*问一句“1 单位基础货币能买多少单位计价货币？”如果 1 欧元能买到的美元比 1 加元能买到的多，CAD/EUR 汇率一定大于 1。

常见考试陷阱

该相除时相乘，单位抵消不掉。在每个数字旁边写上单位，就能避免这个错误。在 CAD/EUR 的例子里，会算成 $1.3620 \times 0.7940 = 1.0814$ ，而不是 1.7154。
题目要的是反方向的报价，最后却忘了取倒数（例如连乘得到 X/Z，题目问的是 Z/X）。在 CAD/EUR 的例子里，EUR/CAD 汇率是 0.5830，不是 1.7154。
“直接标价”（direct）和“间接标价”（indirect）取决于投资者的本币；交叉汇率的算法不变。

LOS 19.b — 即期汇率、远期汇率与利率：无套利、点数、百分比、升水与贴水

无套利关系：利率平价（interest rate parity）

如果货币可以自由交易，又能做远期合约，远期汇率（forward rate）与即期汇率之间的百分比差，必须约等于两种货币的**无风险利率（risk-free interest rate）**之差。否则投资者可以借入一种货币，按即期汇率兑换，按另一种货币的利率投资，再把本息远期卖出，赚取无风险利润。**无套利条件（no-arbitrage condition）**排除了这种情况：这一来回操作的收益不能超过本币的无风险利率。

背后的道理：在本国投资，和在外国投资同时远期卖出外币，两者都没有风险，所以最后得到的本币金额必须相同。报价为本币/外币（d/f，即计价货币/基础货币）时：

(1 + r_{d}) = \frac{1}{S _{d / f}} (1 + r_{f}) F_{d / f}

核心概念

\frac{F _{d / f}}{S _{d / f}} = \frac{1 + r _{d}}{1 + r _{f}} F_{d / f} = S_{d / f} \frac{1 + r _{d}}{1 + r _{f}} S_{d / f} = F_{d / f} \frac{1 + r _{f}}{1 + r _{d}}

计价货币（price currency）的利率在分子，基础货币（base currency）的利率在分母。用百分比表示，同一关系写成

\frac{F _{d / f}}{S _{d / f}} - 1 = \frac{r _{d} - r _{f}}{1 + r _{f}} \approx r_{d} - r_{f}

所以基础货币的远期升水或贴水，约等于这段期间的利差（interest rate differential）。考试惯例：百分比关系印作 $%Δ s = (r_{f} - r_{d}) / (1 + r_{d})$ ，只有即期汇率以“每单位本币兑多少外币”报价时才成立。现行做法：本模块一律用本币/外币（计价货币/基础货币）报价，此时远期升水为 $(r_{d} - r_{f}) / (1 + r_{f})$ 。

核心概念

利率	远期与即期（P/B 报价）	基础货币	计价货币
$r_{price} > r_{base}$	远期 > 即期	远期升水	远期贴水
$r_{price} < r_{base}$	远期 < 即期	远期贴水	远期升水
相等	远期 = 即期	都不是	都不是

利率较高的货币处于远期贴水（它在远期市场上“贬值”，幅度约等于利差）。

**期限不到一年。**用该期间的利率，不用年利率。货币市场利率（money market rate）是年化利率，通常按 360 天计，所以 90 天远期的每个利率都要换成 $r \times 90/360$ ：

F = S \times \frac{1 + r _{price} ( days /360 )}{1 + r _{base} ( days /360 )}

*例：*即期汇率为 1.4800 AUD/GBP，1 年期 AUD 利率为 4.5%，1 年期 GBP 利率为 5.0%。

F = 1.4800 \times \frac{1.045}{1.050} = 1.4730 AUD/GBP

GBP（利率较高，是基础货币）的远期贴水为 $1.47295/1.4800 - 1 = - 0.48%$ ，接近 0.5% 的利差。

*例：*即期汇率为 1.4650 CHF/GBP。180 天 CHF 利率为 1.20%，180 天 GBP 利率为 4.80%，都是按 360 天计的年化利率。求以点数表示的 180 天远期汇率。

把每个利率去年化：CHF $1.20% \times 180/360 = 0.60%$ ；GBP $4.80% \times 180/360 = 2.40%$ 。
套用平价关系，计价货币（CHF）的利率放在分子： $F = 1.4650 \times 1.0060/1.0240 = 1.43925$ 。
换算成点数，这个报价的 1 点是 0.0001（四位小数）： $(1.43925 - 1.4650) /0.0001 \approx - 257.5$ 点。

GBP 是利率较高的基础货币，半年期的远期贴水约为 $1.76%$ 。

报价的远期汇率偏离无套利远期汇率时，就有套利（arbitrage）机会：买入在远期市场上相对平价偏便宜的货币，卖出偏贵的货币。如果基础货币的远期价格（forward price）过高，就借入计价货币，按即期汇率买入基础货币，按基础货币的利率投资，再把本息远期卖出。还清借款本息后剩下的就是利润。套利交易会把即期汇率和远期汇率推回平价。

**远期汇率不是预测。**如果把远期汇率当作预期的未来即期汇率，就等于说即期汇率预计会变动约一个利差，高利率货币预计会贬值。资本市场的逻辑恰好相反：本国利率较高会吸引资本流入，使本币走强。从历史看，利差对未来即期汇率的预测效果很差，不过它可能是无偏的，方向通常也对。无套利远期汇率是某一时点上排除套利的汇率，不是预期的未来即期汇率。

以点数或百分比表示的远期报价

**远期点数（forward points）**以即期报价的最后一位小数为单位。四位小数的报价，1 点 = 0.0001：

F = S + (points \times point size)

1 点的大小取决于报价的小数位数。两位小数的报价（如 148.25 JPY/USD）1 点是 0.01，所以 +35 点就是 +0.35。

百分比形式的远期报价按乘法计算：

F = S \times (1 + percentage)

*例：*即期 0.6480 USD/AUD，远期 +27.5 点，得 $0.6480 + 0.00275 = 0.65075$ 。即期 0.6480，远期报价为 -0.35%，得 $0.6480 \times (1 - 0.0035) = 0.64573$ 。

远期升水或贴水

对基础货币：

forward premium (+) or discount (-) = \frac{F}{S} - 1

结果为正，说明基础货币处于远期升水（远期能换到的计价货币比即期多）。此时计价货币处于远期贴水。
要表示计价货币的升水或贴水，先把两个报价都取倒数，让它成为基础货币。两个百分比的大小略有不同。
不到一年的升水或贴水，可以乘以（12 / 月数）粗略年化。

常见考试陷阱

四位小数报价的 1 点是 0.0001：+14.2 点 = +0.00142，不是 +0.0142，也不是 +0.142。
把负的远期点数理解为计价货币（price currency）贴水。远期低于即期时，贴水的是基础货币，计价货币是升水。
把基础货币（base currency）的利率放在分子，结果高利率货币看起来像是远期升水。在 AUD/GBP 的例子里，会算成 $1.4800 \times 1.050/1.045 = 1.4871$ ，而不是 1.4730。
在 90 天或 180 天的平价计算中直接用年利率。先把每个利率换算到对应期间（按 360 天计的利率用天数/360）。在 CHF/GBP 的例子里，会算成 $1.4650 \times 1.0120/1.0480 = 1.41468$ ，而不是 1.43925。
题目要求反向报价的远期汇率（forward rate）时，先算远期汇率，再取倒数。

答题技巧

算交叉汇率之前先判断大小：如果 1 单位基础货币能换到的共同货币比 1 单位计价货币多，交叉汇率一定大于 1。
利率较高的货币处于远期贴水，所以不用计算就知道远期高于还是低于即期：P/B 报价下，计价货币的利率较高时，远期高于即期。
基础货币的远期升水或贴水约等于这段期间的利差 $r_{price} - r_{base}$ ，可以用来检查算出的远期汇率。

本节要点

求交叉汇率时，把计价货币（price currency）/基础货币形式的报价排好，让共同货币抵消， $A / C = A / B \times B / C$ ；报价方向不对时先取倒数。
无套利条件（no-arbitrage condition）下，用本币/外币（计价货币/基础货币）报价， $F / S = (1 + r_{d}) / (1 + r_{f})$ ，计价货币（price currency）的利率在分子，基础货币（base currency）的利率在分母。
用计价货币（price currency）/基础货币报价时，基础货币（base currency）的远期升水为 $(r_{d} - r_{f}) / (1 + r_{f})$ ，约等于利差；考试惯例把这个关系印作 $(r_{f} - r_{d}) / (1 + r_{d})$ ，只适用于“每单位本币兑多少外币”的报价。
不到一年的远期，先把每个年化货币市场利率换算到对应期间（通常是 $r \times days /360$ ），再套用平价关系。
以点数报价的远期汇率（forward rate）为 $F = S + points \times point size$ ，1 点是即期报价的最后一位小数；百分比报价则为 $F = S (1 + percentage)$ 。
基础货币（base currency）的远期升水（+）或贴水（−）为 $F / S - 1$ ；计价货币（price currency）的升水或贴水，要先把两个报价都取倒数再算。
报价的远期汇率（forward rate）偏离无套利远期汇率时，借入一种货币、按即期汇率兑换、投资、再把本息远期卖出，可以赚取无风险利润；套利交易会让汇率回到平价。
无套利远期汇率（forward rate）是某一时点上排除套利的汇率，不是预期的未来即期汇率；从历史看，利差对未来即期汇率的预测效果很差。

随堂小测

第 1 题核心

Using the quotes EUR/USD 0.9240 and NZD/EUR 1.7960, an analyst calculates the spot cross rate between the US dollar and the New Zealand dollar. Stated as USD/NZD, it is closest to:

查看答案和解析

正确答案： B

先把 EUR/USD 取倒数，得到 USD/EUR，再除以 NZD/EUR（也就是乘以 EUR/NZD），欧元抵消，剩下 USD/NZD。

USD/EUR = \frac{1}{0.9240} = 1.08225

\frac{USD}{NZD} = \frac{USD/EUR}{NZD/EUR} = \frac{1.08225}{1.7960} = 0.60259

其他选项为什么错

A. 这个答案没有先把 EUR/USD 取倒数，直接用它除以 NZD/EUR，单位抵消后得不到 USD/NZD。
C. 这个答案把两个报价相乘： $0.9240 \times 1.7960 = 1.6595$ 。单位（EUR/USD $\times$ NZD/EUR）是 NZD/USD，正好是题目所求 USD/NZD 汇率的倒数（ $1/1.6595 = 0.60259$ ）。

本题要点先取倒数，再把报价连起来，让共同货币抵消。

练习题

第 2 题核心

The spot exchange rate is 1.3450 CAD/USD. The 180-day money market rate is 4.20% for the Canadian dollar and 5.40% for the US dollar, both quoted as annualized rates on a 360-day basis. The 180-day no-arbitrage forward CAD/USD exchange rate is closest to:

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正确答案： B

无套利远期汇率（forward rate） = 即期汇率 ×（1 + 计价货币的期间利率）/（1 + 基础货币的期间利率）。货币市场利率用天数/360 去年化。美元（基础货币）的利率较高，处于远期贴水，所以远期汇率低于即期。

F_{C A D / U S D} = 1.3450 \times \frac{1 + 0.0420 ( 180/360 )}{1 + 0.0540 ( 180/360 )} = 1.3450 \times \frac{1.0210}{1.0270} = 1.3450 \times 0.99416 = 1.3371

其他选项为什么错

A. 这个答案用的是完整的年利率（ $1.3450 \times 1.042/1.054$ ），而不是 180 天的期间利率。
C. 这个答案把 USD（基础货币）的利率放在分子；分子应该是计价货币（CAD）的利率。

本题要点期限不到一年的远期，先把每个货币市场利率乘以天数/360，再套用平价公式。

第 3 题核心

The central bank of Selvia unexpectedly raises its policy rate, and Selvian money market rates move well above euro-area rates. Two analysts comment on the outlook for the Selvian lev (SLV) against the euro:

Ruiz: "The higher-yielding currency always trades at a forward discount, so the rate increase tells us the SLV will now weaken against the euro."
Okoye: "Higher Selvian rates should draw in foreign capital, which tends to push the SLV up against the euro."

Which evaluation of the two comments is most accurate?

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正确答案： C

利率平价是一个无套利条件（no-arbitrage condition）：在某一时点上，高利率货币处于远期贴水，使得借入一种货币、投资另一种货币并做远期抛补后，赚不到无风险利润。它没有说明利率变化时即期汇率如何反应，而且从历史看，利差对未来即期汇率的预测效果很差。资本市场分析的结论恰好相反：本国利率上升会吸引外国投资，增加对本币的需求，本币往往升值。Okoye 的说法符合这一逻辑，Ruiz 则把远期汇率（forward rate）当成了预测。

其他选项为什么错

A. Ruiz 把无套利远期汇率当作预期的未来即期汇率。平价只确定今天排除套利的远期汇率，并不描述利率变化后即期汇率怎么走，而且利差对未来即期汇率的预测效果很差。
B. 政策利率（policy rate）的变化确实会影响汇率。汇率是货币政策传导机制（monetary transmission mechanism）的渠道之一：本国利率上升会吸引资本，本币往往走强。

本题要点无套利远期汇率是今天排除套利的汇率，不是对未来即期汇率的预测。本国利率上升往往会吸引资本，使本币走强。

第 4 题核心

A dealer's SGD/AUD quotes are 0.8870 for spot settlement and 0.8795 for delivery in 12 months. Measured against spot, the forward quote is a:

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正确答案： B

SGD/AUD 远期汇率（forward rate）低于即期，所以远期报价是贴水。报价有四位小数，0.0075 的差额就是 75 点。AUD（基础货币）处于远期贴水，也就是说 SGD（计价货币）相对 AUD 处于远期升水。

F - S = 0.8795 - 0.8870 = - 0.0075 = - 75 points

AUD： $0.8795/0.8870 - 1 = - 0.85%$ （贴水）；SGD： $0.8870/0.8795 - 1 = + 0.85%$ （升水）。

其他选项为什么错

A. 远期汇率低于即期，所以报价是 75 点的贴水。SGD 是计价货币（price currency），处于升水。
C. 每点是 0.0001，所以 0.0075 的差额是 75 点。而且 SGD 处于升水，因为 1 澳元远期换到的 SGD 比即期少。

本题要点点数的符号描述的是基础货币（base currency）；计价货币方向相反。

本章题库共 29 道题。去题库全部练习。

本章要点

先取倒数，再把报价连起来，让共同货币抵消。
期限不到一年的远期，先把每个货币市场利率乘以天数/360，再套用平价公式。
无套利远期汇率是今天排除套利的汇率，不是对未来即期汇率的预测。本国利率上升往往会吸引资本，使本币走强。
点数的符号描述的是基础货币（base currency）；计价货币方向相反。