固定收益 · 第 62 章

基于收益率的债券凸性与组合特性（Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties）

CFA 一级 · 固定收益 · 第 62 章 · 约 28 分钟

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本章学习目标

LOS 62.a 计算并解释凸性（convexity）（现金流法和近似法），描述凸性调整（convexity adjustment）。
LOS 62.b 给定收益率变化，用久期（duration）和凸性估计债券价格的百分比变化（或金额变化）。
LOS 62.c 用加权平均计算组合久期（portfolio duration）和组合凸性，并说明这两个指标的局限。

模块 62.1

基于收益率的债券凸性与组合特性（Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties）

本章在久期之外加入凸性。内容包括：凸性怎么衡量；凸性调整（convexity adjustment）怎样改进用久期（duration）估计的债券价格变化；组合层面怎样把久期和凸性合起来用。

LOS 62.a — 凸性与凸性调整

修正久期（modified duration） 给出的是直线（一阶）估计：债券全价（full price）随到期收益率（yield to maturity, YTM）变化而变化多少。无期权债券（option-free bonds）真实的价格-收益率关系（price-yield relationship） 是一条曲线。它凸向（convex） 原点，所以这条直线落在实际曲线的下方。收益率变化小时，两者差距可以忽略；变化大时，只用久期（duration）的估计会明显出错。凸性衡量价格-收益率关系的弯曲程度，凸性调整（convexity adjustment）（二阶项）用来修正久期估计。

由现金流计算凸性

凸性可以像麦考利久期（Macaulay duration）一样，逐笔现金流算出来。对第 $t$ 期支付的现金流，周期收益率为 $r$ （年 YTM 除以每年的期数）：

convexity_{t} = \frac{t ( t + 1 )}{( 1 + r ) ^{2}}

债券的凸性是这些数值的加权平均（weighted average），每笔现金流的权重等于它的现值（present value, PV）除以债券价格（与麦考利久期用的权重相同）。如果每年付息不止一次，结果的单位是“期数的平方”，年化时要除以年付息次数（periodicity）的平方（半年付息债券除以 $2^{2} = 4$ ，季度付息债券除以 $4^{2} = 16$ ）。

例题详解： 一只 3 年期、票面利率（coupon rate）5%、每年付息的债券，收益率为 7%，价格为 94.751。

t	现金流	按 7% 折现的 PV	权重	$t (t + 1) /1.0 7^{2}$
1	5	4.673	0.0493	1.747
2	5	4.367	0.0461	5.241
3	105	85.711	0.9046	10.481

凸性 $= 0.0493 \times 1.747 + 0.0461 \times 5.241 + 0.9046 \times 10.481 \approx 9.81$ 。债券每年付息，不需要年化。

近似凸性

用定价模型分别算出收益率下降后（ $V_{-}$ ）和收益率上升同样幅度后（ $V_{+}$ ）的债券价格：

核心概念

approximate convexity = \frac{V _{-} + V _{+} - 2 V _{0}}{( Δ Y T M ) ^{2} V _{0}}

分子 $V_{-} + V_{+} - 2 V_{0} = (V_{-} - V_{0}) - (V_{0} - V_{+})$ ，就是价格上涨幅度比价格下跌幅度多出的部分。这个差额之所以存在，只因为曲线的斜率在变，而斜率变化就是弯曲的含义。配套指标用同样的三个价格：近似修正久期（approximate modified duration） $= (V_{-} - V_{+}) / (2 V_{0} Δ Y T M)$ 。如果移动的是基准（benchmark）收益率曲线（yield curve），而不是债券自身的 YTM，同一公式算出的就是有效凸性（effective convexity）（Reading 63）。

例题详解： $V_{0} = 104.20$ ；收益率下降 30 bp 后价格为 105.48，上升 30 bp 后为 102.95。
近似凸性 $= (105.48 + 102.95 - 208.40) / (0.00 3^{2} \times 104.20) = 0.03/0.00093780 \approx 31.99$ ；近似修正久期 $= 2.53/ (2 \times 104.20 \times 0.003) \approx 4.05$ 。

影响凸性的因素

让久期变大的特征，同样让凸性变大：期限（maturity）越长、票面利率越低、YTM 越低，凸性越大。两只久期相同的债券，现金流在时间上分布更分散的那只凸性更大（杠铃型现金流比子弹型更凸）。

正凸性与负凸性

	无期权债券（正凸性）	低收益率时的可赎回债券（负凸性（negative convexity））
形状	曲线向远离切线的方向弯曲	价格被压在赎回价格（call price）附近
收益率等幅下降与上升	价格涨幅大于跌幅	价格涨幅小于跌幅
收益率下降时	价格加速上涨	价格上涨逐渐放缓

可赎回债券（callable bond）（以及因提前还款而具有同样特征的抵押贷款支持证券（mortgage-backed securities））在低收益率时呈现负凸性（negative convexity）：发行人（issuer）很可能赎回，所以价格无法明显高于赎回价格。收益率较高时，赎回的可能性小，可赎回债券的表现与正凸性的无期权债券相同。无期权债券，包括政府债券（government bond）和零息债券（zero-coupon bonds），始终是正凸性。

常见考试陷阱

年化半年期凸性时，忘了除以年付息次数的平方。
在凸性公式里用了 $V_{-} - V_{+}$ （久期的分子）。用例子中的价格，这样算出约 2,698，而不是 31.99。
对可赎回债券（callable bond），近似凸性或有效凸性（effective convexity）为负是正常结果。
凸性越大，只用久期（duration）估计的误差越大；短期债券的凸性很小。

LOS 62.b — 用久期和凸性估计价格变化

核心概念

%Δ P V^{F u l l} \approx - AnnModDur \times Δ Y T M + \frac{1}{2} \times AnnConvexity \times (Δ Y T M)^{2}

第一项是久期效应（duration effect）（符号与收益率变化相反）。第二项是凸性调整（convexity adjustment）； $(Δ Y T M)^{2}$ 总是正数，所以凸性为正时，不论收益率上升还是下降，调整项都为正。只用久期（duration），收益率下降时会低估价格涨幅，收益率上升时会高估价格跌幅；正的凸性项把两种估计都改进了。 $Δ Y T M$ 用小数代入（40 bp = 0.0040）。

例题详解： 某债券 ModDur 为 5.8，凸性为 42，收益率下降 80 bp：久期效应 $= - 5.8 \times (- 0.008) = + 4.64%$ ；凸性效应 $= 0.5 \times 42 \times 0.00 8^{2} = + 0.1344%$ ；估计值 $= + 4.7744%$ 。

凸性项能补上多少。 一只 10 年期、票面利率（coupon rate） 5%、每年付息、按面值（par value）定价的债券，修正久期（modified duration）为 7.72，凸性为 75.0。估计的和实际的价格百分比变化如下：

收益率变化	实际	只用久期	久期 + 凸性
+100 bp	−7.36%	−7.72%	−7.35%
−100 bp	+8.11%	+7.72%	+8.10%
+200 bp	−14.05%	−15.44%	−13.94%
−200 bp	+17.06%	+15.44%	+16.94%

只用久期的估计是对称的，但实际价格涨得比跌得多。不论方向，收益率变动 100 bp 时凸性项为 +0.375%，变动 200 bp 时为 +1.50%。凸性项随收益率变化的平方增长，所以变动幅度翻倍，只用久期的误差大约翻两番。

金额凸性

金额凸性（money convexity） 是金额久期（money duration）对应的货币金额版本：

MoneyCon = AnnConvexity \times P V^{F u l l} of the position

Δ P V^{F u l l} \approx - (MoneyDur \times Δ Y T M) + \frac{1}{2} \times MoneyCon \times (Δ Y T M)^{2}

期限（maturity）、面值和票息（coupon）都不直接进入金额凸性公式，只有年化凸性和头寸的全价价值进入。按金额估计和按百分比估计是同一个计算，只是单位不同，所以估出的价格相同（舍入误差除外）。

例题详解： 某头寸全价价值 $3,900,000，ModDur 为 5.8，凸性为 42：MoneyDur = $22,620,000；MoneyCon = $163,800,000。收益率下降 80 bp 时： $22, 620, 000 \times 0.008 = $180, 960$ ，加上 $0.5 \times 163, 800, 000 \times 0.00 8^{2} = $5, 241.60$ ，收益约 $186,202（即 $3,900,000 的 4.7744%）。

例题详解：用三个价格估计价格变化

一只 8 年期、票面利率 4%、每年付息的债券，收益率为 4.40%，在付息日的价格为 97.351，所以全价等于净价（flat price）。定价模型显示：收益率下降 25 bp 时价格为 98.996，上升 25 bp 时为 95.739。估计收益率上升 75 bp 时的价格百分比变化，以及面值 $5,000,000 头寸的金额变化。

第 1 步：近似修正久期（approximate modified duration） $= (98.996 - 95.739) / (2 \times 97.351 \times 0.0025) = 6.691$ 。

第 2 步：近似凸性 $= (98.996 + 95.739 - 2 \times 97.351) / (0.002 5^{2} \times 97.351) = 54.24$ 。

第 3 步：收益率上升 75 bp：久期效应 $= - 6.691 \times 0.0075 = - 5.0183%$ ；凸性调整 $= 0.5 \times 54.24 \times 0.007 5^{2} = + 0.1526%$ ；估计值 $= - 4.8657%$ 。

第 4 步：按 5.15% 重新定价，得到 92.612，变化为 −4.8680%。只用久期的估计偏差约 0.15 个百分点；加上凸性调整后，偏差约 0.002 个百分点。

第 5 步：面值 $5,000,000 的头寸价值为 $5, 000, 000 \times 0.97351 = $4, 867, 550$ ，估计损失为 $0.048657 \times 4, 867, 550 \approx $236, 840$ 。

常见考试陷阱

漏掉 $\frac{1}{2}$ ，或把凸性项减掉。以例子中收益率下降 80 bp 为例，漏掉它得 +4.9088%，减掉它得 +4.5056%，正确值是 +4.7744%。
久期效应（duration effect）的符号弄反：收益率下降，价格上涨。

LOS 62.c — 组合久期（portfolio duration）与组合凸性

有两种方法：

方法	做法	评价
汇总现金流	用组合的全部现金流，按组合的现金流收益率（cash flow yield）折现，算出一个久期/凸性	理论上更正确，但用起来难；无法处理现金流不确定的债券
加权平均	$portfolio duration = \sum w_{i} D_{i}$ ， $w_{i}$ = 债券 $i$ 的全价市值 / 组合价值	实务中采用：更简单，并且可以纳入含嵌入式期权（embedded options）债券的有效久期（effective duration）

组合凸性也按同样方式加权，权重基于全价市值。

例题详解： 某组合持有面值 $3.5 million 的 Bond P（全价 100.00，久期 3.2，凸性 12）和面值 $7.0 million 的 Bond Q（全价 92.86，久期 8.6，凸性 88）。

市值： $3.5 \times 1.0000 = $3.50$ million 和 $7.0 \times 0.9286 = $6.50$ million，合计 $10.00 million。
权重：P 占 35%，Q 占 65%（按面值加权则为 33.3% 和 66.7%）。
组合久期（portfolio duration） $= 0.35 (3.2) + 0.65 (8.6) = 6.71$ ；组合凸性 $= 0.35 (12) + 0.65 (88) = 61.4$ 。

局限。 只有每只债券的收益率变动相同，也就是收益率曲线（yield curve）平行移动（parallel shift） 时，加权平均指标才是收益率每变化 1% 时价值百分比变化的有效估计。现实中曲线会变陡、变平，也会扭转（twist）。组合久期还继承了 LOS 62.a 讲的直线局限：不加凸性项，只在收益率变化小时准确。

估计组合价值的金额变化： $Δ V \approx - D_{p or t} \times Δ y \times V$ 。

基点价格值。 基点价格值（price value of a basis point, PVBP） 是收益率变化一个基点（0.01%）时债券价格的变化： $PVBP \approx modified duration \times V \times 0.0001$ 。这里忽略凸性，因为 1 bp 的变化太小，曲率起不了作用。价值乘以修正久期（不乘 0.0001）就是金额久期（money duration）。

常见考试陷阱

对久期做简单平均，或按面值加权，而不是按市值加权。以 P、Q 两只债券为例，简单平均得 5.90，按面值加权得 6.80，正确值是 6.71。
把加权平均法说成理论上正确的方法。它是实务上的选择；理论上正确的是汇总现金流法。

答题技巧

无期权债券（option-free bonds）的凸性调整（convexity adjustment），不论收益率上升还是下降，都为正。
凸性项随收益率变化的平方增长，变化幅度翻倍，凸性项大约翻两番。

本节要点

凸性衡量价格-收益率关系的弯曲程度；对无期权债券（option-free bonds），只用久期（duration）会在收益率下降时低估价格涨幅，在收益率上升时高估价格跌幅。
$%Δ P V^{F u l l} \approx - AnnModDur \times Δ Y T M + \frac{1}{2} \times AnnConvexity \times (Δ Y T M)^{2}$ 。
近似凸性为 $(V_{-} + V_{+} - 2 V_{0}) / [(Δ Y T M)^{2} V_{0}]$ 。
期限（maturity）越长、票息越低、收益率越低，凸性越大；久期相同时，现金流越分散，凸性越大。
可赎回债券（callable bond）和抵押贷款支持证券在低收益率时可能出现负凸性（negative convexity）；无期权债券（option-free bonds）始终是正凸性。
金额凸性 = 年化凸性 × 头寸的全价价值。
组合久期（portfolio duration）和组合凸性有两种算法：一是用组合的汇总现金流，这是理论上正确的方法；二是实务中按全价市值加权平均，这种方法只有在收益率曲线（yield curve）平行移动（parallel shift）时才能给出组合的百分比变化。

随堂小测

第 1 题核心

A 1.5-year option-free bond pays an 8% coupon semiannually and is priced to yield 6.00%. Using the present values of its cash flows as weights, its annualized convexity is closest to:

查看答案和解析

正确答案： A

凸性是各笔现金流凸性 $t (t + 1) / (1 + r)^{2}$ 按现值加权的平均数，其中用的是周期收益率。半年付息债券的结果以“半年的平方”为单位，年化时要除以 $2^{2} = 4$ 。

周期收益率 $r = 3%$ ；现金流为 4、4、104。

现值： $4/1.03 = 3.8835$ ； $4/1.0 3^{2} = 3.7704$ ； $104/1.0 3^{3} = 95.1747$ ；价格 $= 102.8286$ 。

权重：0.0378、0.0367、0.9256。各笔现金流的凸性： $1 \times 2/1.0 3^{2} = 1.8852$ ； $2 \times 3/1.0 3^{2} = 5.6556$ ； $3 \times 4/1.0 3^{2} = 11.3112$ 。

周期凸性 $= 0.0378 (1.8852) + 0.0367 (5.6556) + 0.9256 (11.3112) \approx 10.748$ ；年化后 $= 10.748/4 \approx 2.69$ 。

其他选项为什么错

B. 5.37 除以的是年付息次数（2），而不是年付息次数的平方（4）。
C. 10.75 是以半年为单位、尚未年化的凸性。

本题要点凸性年化时除以年付息次数的平方（半年付息除以 4）。

练习题

第 2 题核心

Three option-free bonds are priced at the same yield to maturity. Which one is most likely to have the highest convexity?

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正确答案： B

让久期变大的特征也让凸性变大：期限（maturity）更长、票面利率更低（收益率更低也是，但这里三只债券收益率相同）。25 年期、票息 2% 的债券期限最长、票息最低，凸性最大。

其他选项为什么错

A. 这只债券期限较短、票息较高，三只里凸性最小。
C. 低票息使它的凸性高于 7% 票息的债券，但期限只有 10 年，凸性不如票息相同的 25 年期债券。

本题要点期限越长、票息越低、收益率越低，凸性越大。久期相同时，现金流越分散，凸性越大。

第 3 题核心

Which statement about an option-free bond with positive convexity is most accurate?

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正确答案： A

正凸性下，价格-收益率曲线在收益率较低处更陡。所以收益率下降一定幅度带来的价格涨幅，大于收益率上升同样幅度带来的价格跌幅。

其他选项为什么错

B. 债券价格和收益率反向变动，凸性不改变这一点。
C. 凸性描述的是价格涨跌之间的不对称，不比较价格变化速度和收益率变化速度。

本题要点正凸性：收益率等幅变动时，涨幅大于跌幅。

第 4 题核心

A portfolio holds the three option-free bonds shown below (prices per 100 of par).

Portfolio holdings

Bond	Par value ($)	Price (per 100 of par)	Duration
Bond 1	1,000,000	112	3.1
Bond 2	1,200,000	86	10.8
Bond 3	800,000	101	6.0

Using the weighted-average method, the portfolio's duration is closest to:

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正确答案： A

组合久期（portfolio duration）是各债券久期的加权平均，权重是每只债券的市值（每 100 面值的价格乘以面值，再除以 100）占组合总市值的比例。

市值： $1, 000, 000 \times 1.12 = 1, 120, 000$ ； $1, 200, 000 \times 0.86 = 1, 032, 000$ ； $800, 000 \times 1.01 = 808, 000$ 。合计 $= 2, 960, 000$ 。

D_{p} = \frac{1 , 120 , 000 ( 3.1 ) + 1 , 032 , 000 ( 10.8 ) + 808 , 000 ( 6.0 )}{2 , 960 , 000} = \frac{19 , 465 , 600}{2 , 960 , 000} \approx 6.58

其他选项为什么错

B. 6.63 是简单（等权）平均 $(3.1 + 10.8 + 6.0) /3$ ，没有考虑各债券市值不同。
C. 6.95 按面值（3.0 million 中的 $1.0, 1.2, 0.8$ ）而不是市值对久期加权，折价债券（discount bond）的权重被高估了。

本题要点按市值给每只债券加权。按面值加权或等权都会算错。

本章题库共 26 道题。去题库全部练习。

本章要点

凸性年化时除以年付息次数的平方（半年付息除以 4）。
期限越长、票息越低、收益率越低，凸性越大。久期相同时，现金流越分散，凸性越大。
正凸性：收益率等幅变动时，涨幅大于跌幅。
按市值给每只债券加权。按面值加权或等权都会算错。