固定收益 · 第 58 章

浮动利率工具的收益率与收益率利差指标（Yield and Yield Spread Measures for Floating-Rate Instruments）

CFA 一级 · 固定收益 · 第 58 章 · 约 20 分钟

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本章学习目标

LOS 58.a 计算并解读浮动利率票据（floating-rate note, FRN）的报价利差（quoted margin）和贴现（必要）利差（discount (required) margin），并估计 FRN 在重置日（reset date）的价值。
LOS 58.b 计算并解读货币市场收益率：贴现基础（discount basis）与附加基础（add-on basis），一年按 360 天与 365 天计，以及债券等价收益率（bond equivalent yield, BEY）。

模块 58.1

浮动利率工具的收益率与收益率利差指标（Yield and Yield Spread Measures for Floating-Rate Instruments）

本章讲浮动利率票据（floating-rate notes, FRNs）使用的利差指标，以及货币市场工具（money market instruments）的收益率报价惯例。考生要会：在重置日根据报价利差和贴现利差给 FRN 估值；由价格反求贴现利差；把货币市场报价在贴现收益率（discount yield）、附加收益率（add-on yield）、BEY 和半年付息债券基准（semiannual bond basis）之间相互换算。

LOS 58.a — 报价利差、贴现利差与 FRN 估值

浮动利率票据如何付息

**浮动利率票据（FRN）每期把票息（coupon）重置为当前的市场参考利率（market reference rate, MRR）加一个固定利差。MRR（通常是银行间利率或以隔夜利率为基础的利率）在期初确定、期末支付，所以利息是期末支付（paid in arrears）**的。票息不断向市场利率靠拢，因此 FRN 的价格比相同期限（maturity）的固定利率债券更稳定。

写入债券契约（indenture）的固定利差就是报价利差（quoted margin, QM）。它反映发行时发行人（issuer）的信用风险（credit risk）与 MRR 背后那些银行相比的高低；流动性（liquidity）和税收待遇也会影响它。
风险高于这些银行的发行人支付 MRR 加一个利差；信用风险低于这些银行的发行人支付 MRR 减一个利差，其票面利率（coupon rate）低于 MRR。
投资者当前要求的高于 MRR 的利差是必要利差（required margin），也叫贴现利差（discount margin, DM）。它是让 FRN 在重置日的价格正好等于面值（par value）的利差。

QM 与 DM：价格规律

核心概念

发行以来的情况	关系	重置日的价格
信用质量不变	QM = DM	等于面值
信用质量恶化	DM > QM	低于面值，折价（discount）
信用质量改善	DM < QM	高于面值，溢价（premium）

FRN 通常按面值发行，发行时 QM = DM。只要发行人的信用质量不变，QM 在票据整个存续期内都等于 DM。时间流逝不会让两者拉开差距。MRR 本身变动也不会，因为票息 MRR + QM 和必要收益率（required return）MRR + DM 都随它一起变。和固定利率债券类比：票面利率 < 必要收益率，价格就是折价（discount）；对 FRN 来说，MRR + QM < MRR + DM 说明 QM 不足（deficient），票据低于面值交易。

重置日的简化估值

用今天的 MRR 加 QM 预测未来每期票息，用今天的 MRR 加 DM 折现，利率都除以每年的期数：

V = t = 1 \sum N \frac{( MRR + QM ) \times F V / m}{( 1 + \frac{MRR + DM}{m} ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + \frac{MRR + DM}{m} ) ^{N}}

*例：*一张 $1 million 的 FRN 每年付息，票息为 MRR + 60 bp，剩余期限三年。重置日 MRR 为 2.80%，投资者现在要求的 DM 为 90 bp。
票息 $= (2.80% + 0.60%) \times 1, 000, 000 = $34, 000$ ；折现率（discount rate） $= 2.80% + 0.90% = 3.70%$ 。
TI BA II Plus（P/Y = C/Y = 1，END 模式）：N = 3，I/Y = 3.70，PMT = 34,000，FV = 1,000,000，CPT PV = −991,627。价值约 $991,627，因为 DM > QM，所以低于面值。这个简便方法忽略了 MRR 的预期变化；更复杂的模型能给出更好的估值。

*反求 DM。*已知价格时，把同一公式倒过来用：

每期票息 $= (MRR + QM) \times F V / m$ 。
输入 N、PMT、FV 和 PV = −价格，求每期折现率（I/Y）。
把期利率（periodic rate）乘以 $m$ ，得到年化利率。
减去 MRR，剩下的就是 DM。

*例：*假设同一张票据的价格为 $988,000。取 $m = 1$ ：N = 3，PMT = 34,000，FV = 1,000,000，PV = −988,000，CPT I/Y = 3.831，所以 $D M = 3.831% - 2.80% = 1.03%$ ，约 103 bp。DM 高于 60 bp 的 QM；重置日价格低于面值的票据必然如此。

常见考试陷阱

把两个利差用反。票息用 QM，折现率（discount rate）用 DM。在 $1 million 的例子里，用反会把票据估值为约 $1,008,421，而不是 $991,627。
用季度期利率直接减 MRR。应先把期利率（periodic rate）乘以 4，再减 MRR。
以为 FRN 在重置日一定按面值（face value）交易。只有 QM = DM 时才成立。
以为临近到期或 MRR 变动会让 QM 与 DM 拉开差距。
把 MRR 当成票面利率的下限。低风险发行人（issuer）支付的利率低于 MRR。

LOS 58.b — 货币市场收益率惯例

**货币市场证券（money market securities）**的期限不超过一年。其收益率报价有两组选择：

选择	方式 1	方式 2
年化的对象	附加收益率：所得利息 ÷ 今天投入的金额	贴现收益率：相对面值的折价 ÷ 面值（face value）
一年的天数	360 天	365 天

核心概念

年化附加利率（add-on rate）是银行定期存单（certificate of deposit, CD）、回购协议（repurchase agreement, repo）和市场参考利率（market reference rate, MRR）的报价惯例。
按 360 天年化的贴现收益率是美国短期国债（Treasury bill, T-bill）和商业票据（commercial paper, CP）的报价惯例。
货币市场工具的债券等价收益率（BEY）是按 365 天计算的附加收益率。

关键公式：货币市场收益率

持有期收益率（holding period yield, HPY）： $H P Y = \frac{amount received at maturity}{price paid} - 1$

核心概念

Add-on yield (365-day) = H P Y \times \frac{365}{days} Discount yield = \frac{F V - P}{F V} \times \frac{360}{days}

如果工具按 365 天的贴现收益率报价，贴现收益率公式中的 360 就换成 365。

把公式改写成定价形式，两种惯例的方向正好相反。贴现收益率从面值（face value）出发，倒推今天的价格。附加收益率从今天投入的金额出发，向后推算到期收到的金额：

P = F V \times (1 - discount yield \times \frac{days}{year}) F V = P V \times (1 + add-on yield \times \frac{days}{year})

式中“year”取 360 天或 365 天，看报价用哪种基础。把附加收益率从 360 天基础换成 365 天基础：乘以 $365/360$ 。

贴现收益率除以面值（面值大于价格），又按一年 360 天计，所以价格低于面值的贴现工具，其 BEY 高于报价的贴现收益率。

*例 1：*一张 60 天的短期国债报价贴现收益率为 3.00%。
折价（discount） $= 3.00% \times 60/360 = 0.50%$ ，所以每 100 面值的价格为 99.50。
$H P Y = 100/99.50 - 1 = 0.5025%$ ； $B E Y = 0.5025% \times 365/60 = 3.057%$ ，高于 3.00% 的报价。

*例 2：*一笔 45 天的银行间存款按 360 天基础报价，附加收益率 2.00%，其 BEY 为 $2.00% \times 365/360 = 2.028%$ 。

与半年付息债券比较

要把货币市场收益率和半年付息债券的到期收益率（yield to maturity, YTM）比较（即换算成半年付息债券基准收益率）：先求 HPY，复利成有效年收益率（effective annual yield, EAY），再换算成有效半年利率并翻倍：

E A Y = (1 + H P Y)^{365/ days} - 1, semiannual bond basis = 2 [(1 + E A Y)^{1/2} - 1]

例 3：一笔 200 天的存款按 3.60% 的附加收益率报价（365 天基础）： $H P Y = 3.60% \times 200/365 = 1.9726%$ ； $E A Y = 1.01972 6^{365/200} - 1 = 3.6293%$ ；半年付息债券基准 $= 2 (1.03629 3^{0.5} - 1) = 3.597%$ 。持有期超过半年、即年付息次数（periodicity）低于 2 时，半年付息债券基准收益率略低于简单的 365 天附加收益率报价；持有期短于半年时则略高于。

常见考试陷阱

用 $days /365$ 而不是 $365/ days$ 年化 HPY。例 1 中 60 天的短期国债会算出 0.083%，而不是 BEY 3.057%。
题目要 BEY 时用了 360 而不是 365。例 1 的短期国债会算出 3.015%，而不是 3.057%。
把贴现收益率当成以价格为基础的收益率。贴现收益率按面值（face value）计算。
要求 BEY 时做了复利。BEY 是简单（不复利）年化。例 1 的短期国债复利后得到 3.096%，而不是 3.057%。

答题技巧

重置日价格低于面值的 FRN 一定 DM > QM，价格高于面值的一定 DM < QM。所以不用求 I/Y，就能排除落在报价利差错误一侧的选项。
按 360 天报价的附加收益率乘以 365/360，就换成 365 天基础，即 BEY；用不到持有期收益率。

本节要点

FRN 的票面利率每期重置为期初确定的市场参考利率（market reference rate, MRR）加报价利差，票息在期末支付，即后付。
报价利差写在债券契约里，反映发行时发行人（issuer）的信用风险（credit risk）；贴现（必要）利差是投资者当前要求的利差，即让 FRN 在重置日价值等于面值（face value）的利差。
重置日 QM = DM 时 FRN 按面值（face value）交易；信用质量恶化导致 DM > QM 时低于面值；信用质量改善导致 DM < QM 时高于面值。
发行人（issuer）信用质量不变时，QM 一直等于 DM；时间流逝和 MRR 变动都不会让两者拉开差距。
简化的 FRN 估值用今天的 MRR 加 QM 预测每期票息，用今天的 MRR 加 DM 折现，两者都除以每年期数；这种方法忽略 MRR 的预期变化。
美国短期国债和商业票据（commercial paper, CP）按一年 360 天的贴现收益率报价，以面值（face value）为基础计算；银行 CD、回购协议（repurchase agreement, repo）和市场参考利率（market reference rate, MRR）的惯例是年化附加利率（add-on rate）。
货币市场工具的 BEY 按一年 365 天把附加收益率年化，即 $H P Y \times 365/ days$ ；价格低于面值（face value）的贴现工具，其 BEY 高于报价的贴现收益率。
要把货币市场收益率和半年付息债券的 YTM 比较，先把 HPY 复利成有效年收益率（effective annual yield, EAY） $(1 + H P Y)^{365/ days} - 1$ ，再改写为 $2 [(1 + E A Y)^{1/2} - 1]$ 。

随堂小测

第 1 题核心

Carrow Logistics has a $5 million floating-rate note outstanding that pays an annual coupon equal to the market reference rate (MRR) plus a quoted margin of 110 basis points. Today is a reset date with exactly four years remaining to maturity. The MRR is 4.20%, and the discount margin the market currently requires on Carrow's credit is 70 basis points. Using the simplified approach that holds the MRR constant, the estimated value of the note is closest to:

查看答案和解析

正确答案： A

票息按 MRR + QM 预测，按 MRR + DM 折现。QM（110 bp）高于 DM（70 bp），所以票据价值高于面值（face value）。

票面利率 $= 4.20% + 1.10% = 5.30%$ ，每年票息 $= 0.053 \times $5, 000, 000 = $265, 000$ 。

折现率（discount rate） $= 4.20% + 0.70% = 4.90%$ 。

V = t = 1 \sum 4 \frac{265 , 000}{1.04 9 ^{t}} + \frac{5 , 000 , 000}{1.04 9 ^{4}} = $5, 071, 084

TI BA II Plus（P/Y = C/Y = 1，END 模式）：N = 4，I/Y = 4.90，PMT = 265,000，FV = 5,000,000，CPT PV = −5,071,084。

其他选项为什么错

B. $5,000,000 假设 FRN 在重置日必然按面值交易。只有报价利差等于贴现利差时才是这样；本题 QM > DM。
C. $4,929,572 把两个利差用反了：票息按 4.20% + 0.70% = 4.90% 计算，再按 4.20% + 1.10% = 5.30% 折现，得出的是折价（discount）价格。

本题要点票息看 QM，折现率看 DM。QM > DM，票据溢价（premium）交易；QM < DM，折价交易。

练习题

第 2 题核心

Tenby Savings Bank issues a 91-day negotiable certificate of deposit. An investor who deposits $1,000 today receives $1,006.50 at maturity. The certificate's bond equivalent yield is closest to:

查看答案和解析

正确答案： B

CD 是附加型工具：投资者存入全部金额，到期连本带息收回。BEY 按一年 365 天把 91 天的附加收益率年化，不做复利。

H P Y = \frac{1 , 006.50}{1 , 000} - 1 = 0.65%

B E Y = 0.65% \times \frac{365}{91} = 2.607%

其他选项为什么错

A. 2.57% 按一年 360 天年化 0.65% 的收益率（ $0.65% \times 360/91$ ）；BEY 用 365 天。
C. 2.63% 把期间收益率复利成有效年收益率（ $1.006 5^{365/91} - 1$ ）。BEY 是简单年化，不做复利。

本题要点 BEY 是按一年 365 天对附加收益率做简单年化：不复利，也不用 360 天。

第 3 题核心

A floating-rate note issued by Penhale Chemicals pays the market reference rate plus 85 basis points. Dealers now price the note at a discount margin of 55 basis points. Which of the following is the most likely explanation for the difference?

查看答案和解析

正确答案： B

报价利差（QM）是写在债券契约里的固定利差（可正可负），与 MRR 一起决定每期票息。贴现（必要）利差（DM）是让票据在重置日按面值（face value）定价的、高于 MRR 的利差。QM 在发行时按投资者当时看到的信用风险（credit risk）确定，所以 DM 低于 QM 说明投资者现在要求的补偿变少了，最可能的原因是发行人（issuer）的信用质量改善了。QM > DM 时，票据溢价（premium）交易。

其他选项为什么错

A. 参考利率的变化会同时进入票息（MRR + QM）和必要收益率（MRR + DM），所以不会让两个利差拉开差距。
C. 贴现利差低于报价利差时，票息高于必要收益率，票据高于面值交易。

本题要点 DM 低于 QM，说明信用改善、价格溢价；DM 高于 QM，说明信用恶化、价格折价（discount）。

本章题库共 15 道题。去题库全部练习。

本章要点

票息看 QM，折现率看 DM。QM > DM，票据溢价（premium）交易；QM < DM，折价交易。
BEY 是按一年 365 天对附加收益率做简单年化：不复利，也不用 360 天。
DM 低于 QM，说明信用改善、价格溢价；DM 高于 QM，说明信用恶化、价格折价（discount）。