固定收益 · 第 59 章

利率期限结构：即期利率曲线、平价收益率曲线与远期利率曲线（The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves）

CFA 一级 · 固定收益 · 第 59 章 · 约 25 分钟

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本章学习目标

LOS 59.a 定义即期利率（spot rate）和即期利率曲线（spot curve），并用每笔现金流各自的即期利率折现，为债券定价。
LOS 59.b 定义平价利率（par rate）和远期利率（forward rate）；计算平价利率，由即期利率求远期利率，由远期利率求即期利率，并用远期利率为债券定价。
LOS 59.c 比较即期利率曲线、平价收益率曲线（par curve）和远期利率曲线（forward curve），以及三者在正常、倒挂和水平环境下的高低排列。

模块 59.1

利率期限结构：即期利率曲线、平价收益率曲线与远期利率曲线（The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves）

本章用每笔现金流各自的即期利率（spot rate）为债券定价，并把即期利率、平价利率和远期利率（forward rate）联系起来。考生要会：用即期利率为债券定价，计算平价利率，由即期利率推出远期利率、由远期利率推出即期利率，用远期利率为债券定价，并说明即期利率曲线（spot curve）、平价收益率曲线（par curve）和远期利率曲线（forward curve）之间的关系。

LOS 59.a — 即期利率、即期利率曲线与用即期利率为债券定价

债券的到期收益率（yield to maturity, YTM）用同一个利率折现所有现金流。实际上，市场对每个日期适用不同的利率。未来某一日期单笔支付的市场折现率（discount rate），就是该期限的即期利率（spot rate）。零息债券（zero-coupon bond）只支付一次，所以它的 YTM 就是该期限的即期利率。因此即期利率也叫零息利率（zero-coupon rates）或零利率（zero rates）。收益率为正时，零息债券的全部收益来自价格向面值（par）上涨；没有票息（coupon）需要再投资。

即期利率曲线（spot curve）把同一类发行人（issuer）的即期利率（例如政府债即期利率）按期限画出来。曲线通常向上倾斜，即正常收益率曲线（normal yield curve），因为投资者把钱投得越久，要求的回报越高。期限较长的即期利率低于期限较短的即期利率时，曲线向下倾斜，称为倒挂（inverted）。

用即期利率定价

每笔现金流用与其日期对应的即期利率折现，再把现值（present value）相加：

P = \frac{P M T}{( 1 + S _{1} )} + \frac{P M T}{( 1 + S _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{P M T + F V}{( 1 + S _{N} ) ^{N}}

这就是无套利价格（no-arbitrage price）（即**无套利估值（arbitrage-free valuation）方法）。如果债券以其他价格交易，交易商（dealer）可以把它剥离成若干零息部分（或用零息债券重新组合出这只债券），锁定无风险利润。没有套利（arbitrage）机会时，不管曲线是什么形状，市场价格都等于这个价值。市场价格与无套利价值之差，就是可能的套利利润。政府债券（government bond）用与每笔现金流期限对应的政府债即期利率（government spot rate）**估值；同一个日期适用同一个即期利率，不论这笔现金流属于哪只债券（20 年期债券第 6 年的票息，也用 6 年期即期利率折现）。

*例：*即期利率： $S_{1} = 2.0%$ ， $S_{2} = 2.8%$ ， $S_{3} = 3.3%$ 。一只 3 年期、票息 4%、每年付息的债券：

P = \frac{4}{1.02} + \frac{4}{1.02 8 ^{2}} + \frac{104}{1.03 3 ^{3}} = 3.922 + 3.785 + 94.348 = 102.055

它的 YTM（N = 3，PMT = 4，FV = 100，PV = −102.055，CPT I/Y）为 3.27%。YTM 是各即期利率按现金流加权的混合，主要由 $S_{3}$ 决定，因为大部分现金在第 3 年收到。YTM 要作为债券的内部收益率（internal rate of return, IRR）求出；即期利率的简单平均或几何平均都得不到它。

常见考试陷阱

所有现金流都用最长期的即期利率（spot rate）折现，或都用第一个即期利率折现。以例子中 3 年期、票息 4% 的债券为例，全部按 3.3% 折现得 101.969，全部按 2.0% 折现得 105.768，正确答案是 102.055。
漏掉最后一期票息（到期时只折现本金（principal））。同一只债券只把第 3 年的 100 本金折现，得 98.426，而不是 102.055。
半年期现金流用年度即期利率（spot rate）：半年付息的现金流要用 $S_{t} /2$ 并按半年计期数，前提是利率按半年付息债券基准（semiannual bond basis）报价。

LOS 59.b — 平价利率、远期利率，以及即期利率与远期利率的互推

平价利率

**平价利率（par rate）是在给定即期利率曲线（spot curve）下，使某一期限债券的价格正好等于面值的票面利率（coupon rate）。也可以说，它是一只假想的平价债券（par bond）**的 YTM。对于期限 $N$ 、每 100 面值票息为 $c$ 的债券：

100 = \frac{c}{1 + S _{1}} + \frac{c}{( 1 + S _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{c + 100}{( 1 + S _{N} ) ^{N}} \Rightarrow c = \frac{100 [ 1 - \frac{1}{( 1 + S _{N} ) ^{N}} ]}{\sum _{t = 1}^{N} \frac{1}{( 1 + S _{t} ) ^{t}}}

用上面的即期利率（2.0%、2.8%、3.3%），3 年期平价利率为 3.27%，略低于 3 年期即期利率。考试时直接代入中间的选项往往更快：价格低于 100，说明平价利率更高；价格高于 100，说明平价利率更低。

远期利率及其表示法

**远期利率（forward rate）**是今天约定、从未来某一日期开始的贷款利率。AyBy 表示 A 年后开始、期限 B 年的贷款：1y1y 是一年后开始的 1 年期利率，2y1y 是两年后开始的 1 年期利率，2y2y 是两年后开始的 2 年期利率。

无套利要求：按 N 年期即期利率投资 N 年，与按各远期利率逐年滚动投资，最终金额相同：

核心概念

(1 + S_{3})^{3} = (1 + S_{1}) (1 +_{1 y 1 y}) (1 +_{2 y 1 y}) = (1 + S_{2})^{2} (1 +_{2 y 1 y})

两年的情形最能说明道理。投资者买 1 年期零息债券（zero-coupon bond）、拿 $S_{1}$ ，而不买利率更高（ $S_{2}$ ）的 2 年期零息债券，第 1 年就少赚一些。只有第 2 年能拿到的利率足够高、可以追回差距，这个选择才合理。远期利率 1y1y 就是让两种方案最终金额相同的第 2 年利率。

*由远期利率求即期利率。*即期利率是各单期利率的几何平均数（geometric mean）：

S_{N} = [(1 + S_{1}) (1 +_{1 y 1 y}) \dots (1 +_{(N - 1) y 1 y})]^{1/ N} - 1

由即期利率求远期利率：

核心概念

_{A y B y} = [\frac{( 1 + S _{A + B} ) ^{A + B}}{( 1 + S _{A} ) ^{A}}]^{1/ B} - 1

*例：*设 $S_{1} = 2.0%$ ， $S_{2} = 2.8%$ ， $S_{3} = 3.3%$ ：

$1 y 1 y = 1.02 8^{2} /1.02 - 1 = 3.606%$
$2 y 1 y = 1.03 3^{3} /1.02 8^{2} - 1 = 4.307%$
$1 y 2 y = (1.03 3^{3} /1.02)^{1/2} - 1 = 3.956%$ 。开平方是把 2 年期远期利率年化。
反推回去： $S_{3} = [(1.02) (1.03606) (1.04307)]^{1/3} - 1 = 3.30%$ 。

Timeline from today to year 3 with four routes, each ending with 1 growing to 1.10230. Route A: the 3-year spot rate S3 = 3.30% a year for 3 years. Route B: the 2-year spot rate S2 = 2.80% a year for 2 years, then the forward rate 2y1y = 4.307% for year 3. Route C: the 1-year spot rate S1 = 2.00%, then 1y1y = 3.606%, then 2y1y = 4.307%. Route D: S1 = 2.00%, then the 2-year forward rate 1y2y = 3.956% a year for years 2 and 3. Spot rates are drawn in blue and forward rates in orange. — Four ways to invest from today to year 3 that must grow to the same amount

图中每条路径都把 1 在第 3 年变成 1.10230，所以时间轴上任何一个利率都可以由其他利率反推出来。例如 1 年期即期利率为 $1 + S_{1} = (1 + S_{2})^{2} / (1 +_{1 y 1 y})$ 。

*近似检验：*远期利率 ≈ 两个“总”利率之差，例如 $2 y 1 y \approx 3 \times 3.3 - 2 \times 2.8 = 4.3%$ 。可以用来筛选答案；精确值要考虑复利。多年期远期利率也能用这个捷径： $2 y 2 y \approx (4 S_{4} - 2 S_{2}) /2$ 。

*半年利率：*利率按**半年付息债券基准（semiannual bond basis）**报价时，用半年利率和半年期数计算，再把结果乘以 2（例如六个月后开始的 6 个月期利率 $6 m 6 m$ ）。

例题详解：6 个月远期利率与半年付息债券定价

按半年付息债券基准，6 个月即期利率为 2.3%，1 年期即期利率为 3.1%。计算按半年付息债券基准表示的六个月后开始的 6 个月期利率（6m6m），并为一只每半年付息、票息 4.4% 的 1 年期债券定价（每 100 面值）。

第 1 步：半年即期利率： $2.3%/2 = 1.15%$ ， $3.1%/2 = 1.55%$ 。

第 2 步：半年远期利率： $1.015 5^{2} /1.0115 - 1 = 1.9516%$ 。按半年付息债券基准， $6 m 6 m = 2 \times 1.9516% = 3.903%$ 。

第 3 步：债券 6 个月后支付 2.2，1 年后支付 102.2。价格 $= 2.2/1.0115 + 102.2/1.015 5^{2} = 2.175 + 99.104 = 101.279$ 。

结果：6m6m 远期利率为 3.903%，债券价值为每 100 面值 101.279。

用远期利率为债券估值

每笔现金流用截至其日期的各单期利率（1 + 利率）连乘积折现：

P = \frac{P M T}{1 + S _{1}} + \frac{P M T}{( 1 + S _{1} ) ( 1 + _{1 y 1 y} )} + \frac{P M T + F V}{( 1 + S _{1} ) ( 1 + _{1 y 1 y} ) ( 1 + _{2 y 1 y} )}

这些连乘积就是即期利率的折现因子，所以价格还是同一个无套利价格。例：第 1–3 年利率分别为 2%、3% 和 3.5%，一只 3 年期、票息 4% 的债券价值为 $4/1.02 + 4/ (1.02 \times 1.03) + 104/ (1.02 \times 1.03 \times 1.035) = 103.37$ 。零息债券的定价方法相同，只有最后一项。

常见考试陷阱

用远期利率的算术平均数（arithmetic mean）代替几何平均数（geometric mean）。各利率差得越开，两者差距越大。
多年期远期利率（forward rate）忘了年化（开 $1/ B$ 次方），或者用除以 B 代替开方。以例子中的 1y2y 为例，不开方得 8.069%，除以 2 得 4.034%，正确答案是 3.956%。
指数错了一期：第 4 年到第 5 年的远期利率（forward rate）用 $(1 + S_{5})^{5} / (1 + S_{4})^{4}$ 。
较晚的现金流只用一个远期利率（forward rate）折现，而不是用复利连乘。用例子中 2%、3% 和 3.5% 的利率，每笔现金流只按自己那一年的利率折现，得 108.29，而不是 103.37。

LOS 59.c — 比较即期利率曲线、平价收益率曲线与远期利率曲线

曲线	画的是什么	观察所得还是推导所得？
即期利率曲线（零息曲线（zero curve）、本息剥离曲线（strip curve））	即期利率（零息债券的 YTM）对期限	来自零息债券或本息剥离国债的价格
附息债券收益率曲线（yield curve for coupon bonds）	同一或相近发行人的活跃交易附息债券的 YTM 对期限	观察所得；空缺处用线性插值补齐
平价收益率曲线（par curve）	各期限债券按面值定价时的票面利率	由即期利率曲线推导（假想）
远期利率曲线（forward curve）	未来各连续时段的远期利率（例如 1 年期利率）	由即期利率推导

用市场价格画出的附息债券收益率曲线会受流动性（liquidity）不足的影响；不按面值交易的债券还有税收扭曲。用新券（on-the-run）可以改善流动性，但新券数量可能太少。由即期利率曲线（spot curve）推导出的平价收益率曲线（par curve）可以避开这些问题。这些曲线上的利率通常按半年付息债券基准（semiannual bond basis）报价。

三条曲线的关系

远期利率（forward rate）决定即期利率（即期利率是远期利率的几何平均数），即期利率决定平价利率（平价利率是即期利率的加权平均）。平价利率的权重主要落在最后一笔现金流上。

核心概念

环境	高低排列
正常（向上倾斜）	第一年以后，远期 > 即期 > 平价；即期利率上升比远期利率慢；平价略低于即期
倒挂（向下倾斜）	第一年以后，远期 < 即期 < 平价；平价略高于即期
水平	所有期限上远期 = 即期 = 平价

Line chart of three curves for maturities 1 to 10 years, built from 1-year forward rates of 1.50, 2.49, 3.20, 3.71, 4.08, 4.34, 4.53, 4.66, 4.76 and 4.83 percent. The spot curve (geometric means of the forwards) is 1.50, 1.99, 2.40, 2.72, 2.99, 3.22, 3.40, 3.56, 3.69, 3.80 percent. The par curve is 1.50, 1.99, 2.38, 2.70, 2.96, 3.16, 3.34, 3.48, 3.60, 3.70 percent. All three start at 1.50% at one year; the forward curve is highest, the spot curve rises more slowly, and the par curve lies just below the spot curve. — Forward, spot and par curves when forward rates rise with maturity

曲线倒挂与市场预期短期利率下降一致。

常见考试陷阱

说平价收益率曲线（par curve）是在市场上观察到的。它是理论曲线，由即期利率（spot rate）推导。
把倒挂环境下的排列弄反：倒挂时平价收益率高于即期利率（spot rate），远期利率（forward rate）最低。
把附息债券的“收益率曲线（yield curve）”（同一发行人、不同期限）和跨发行人的利率图混为一谈。

答题技巧

远期利率大约等于两个总利率之差，例如 $2 y 1 y \approx 3 S_{3} - 2 S_{2}$ ；精确值要用复利，但这个近似能很快排除错误选项。
从选项中找平价利率时，代入中间的选项：价格低于 100，说明平价利率更高；价格高于 100，说明更低。

本节要点

即期利率（spot rate）是未来某一日期单笔支付的市场折现率（discount rate），所以它等于同期限零息债券（zero-coupon bond）的 YTM。
债券的无套利价格把每笔现金流按其日期的即期利率（spot rate）折现；债券的 YTM 是该价格下的内部收益率，不是即期利率的简单平均或几何平均。
平价利率是在给定即期利率曲线（spot curve）下，使某一期限债券按面值定价的票面利率。
$_{A y B y} = [(1 + S_{A + B})^{A + B} / (1 + S_{A})^{A}]^{1/ B} - 1$ ，其中开 $1/ B$ 次方是把多年期远期利率（forward rate）年化。
即期利率（spot rate）是截至该期限各单期利率的几何平均数（geometric mean）： $S_{N} = [(1 + S_{1}) (1 +_{1 y 1 y}) \dots (1 +_{(N - 1) y 1 y})]^{1/ N} - 1$ 。
每笔现金流用截至其日期的单期远期利率（forward rate）复利连乘折现，得到的无套利价格与用即期利率（spot rate）折现相同。
第一年以后，曲线正常（向上倾斜）时远期 > 即期 > 平价，曲线倒挂时远期 < 即期 < 平价，曲线水平时三者相等。
平价收益率曲线（par curve）和远期利率曲线（forward curve）由即期利率曲线（spot curve）推导；附息债券收益率曲线则来自活跃交易债券的 YTM，空缺处用线性插值补齐。

随堂小测

第 1 题核心

Which of the following statements about zero-coupon bonds and spot rates is most accurate?

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正确答案： C

零息债券（zero-coupon bond）不付票息：收益率为正时，它以低于面值的价格买入，到期按面值兑付，所以全部收益都是价格上涨，也不存在票息再投资的不确定性。它的到期收益率（yield to maturity, YTM）就是该期限的即期利率（spot rate）。

其他选项为什么错

A. 零息债券的 YTM 就是该期限的即期利率，所以 4 年期即期利率是 5.2%，不用除以年数。
B. 即期利率通常随期限不同而不同，即期利率曲线（spot curve）显示的正是这种变化。只有在水平环境下，各期限的即期利率才全部相等。

本题要点零息债券：YTM = 即期利率；收益率为正时，全部收益来自价格向面值上涨；没有再投资风险（reinvestment risk）。

练习题

第 2 题核心

Which of the following best describes how the arbitrage-free approach values an option-free bond?

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正确答案： A

无套利方法用多个折现率：每个现金流日期用当前期限结构中对应的即期利率（spot rate）。这样定价后，把债券剥离成零息部分或用零息部分重组债券都无利可图。

其他选项为什么错

B. 即期利率的几何平均仍然是所有现金流共用的一个利率；它没有给每个日期用上正确的利率。
C. 所有现金流用同一个折现率，是到期收益率（yield to maturity, YTM）方法，不是无套利价值的求法。

本题要点无套利估值：每个现金流日期用一个即期利率。

第 3 题核心

Government spot rates are 2.1% for one year, 2.9% for two years and 3.6% for three years (annual compounding). The coupon rate at which a 3-year annual-pay government bond would be priced at par (the 3-year par rate) is closest to:

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正确答案： B

平价利率是使债券按即期利率（spot rate）算出的价值等于 100 的票息。它是即期利率的加权平均，主要由 3 年期利率决定，所以曲线向上倾斜时，它略低于 3 年期即期利率。

折现因子： $d_{1} = 1/1.021 = 0.97943$ ， $d_{2} = 1/1.02 9^{2} = 0.94443$ ， $d_{3} = 1/1.03 6^{3} = 0.89933$ 。

c = \frac{100 ( 1 - d _{3} )}{d _{1} + d _{2} + d _{3}} = \frac{100 \times 0.10067}{2.82319} = 3.566% \approx 3.57%

代入中间选项检验： $3.57/1.021 + 3.57/1.02 9^{2} + 103.57/1.03 6^{3} = 100.01 \approx 100$ 。

其他选项为什么错

A. 2.87% 是三个即期利率的简单平均；平价利率给第 3 年现金流的权重要大得多。
C. 3.60% 是 3 年期即期利率。票息为 3.60% 的债券价格会略高于面值（约 100.10），因为前两期票息按低于 3.6% 的即期利率折现。

本题要点曲线正常（向上倾斜）时，平价利率略低于即期利率。代入中间选项是考试中快速检验的办法。

第 4 题核心

Current market rates (annual compounding) are as follows: the 1-year spot rate is 2.8%, the 1-year forward rate one year from now is 4.6%, and the 1-year forward rate two years from now is 6.2%. The price per 100 of par of a 3-year zero-coupon bond is closest to:

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正确答案： B

3 年期零息债券（zero-coupon bond）只在第 3 年有一笔现金流，所以用 3 年期即期利率（spot rate）折现，而 3 年期即期利率是 1 年期即期利率和两个远期利率（forward rate）的几何平均数（geometric mean）。也可以直接用 100 除以三个增长因子的乘积。

P = \frac{100}{( 1.028 ) ( 1.046 ) ( 1.062 )} = \frac{100}{1.14195} = 87.57

也可以先求 $S_{3} = 1.1419 5^{1/3} - 1 = 4.524%$ ；TI BA II Plus（P/Y = C/Y = 1）：N = 3，I/Y = 4.524，PMT = 0，FV = 100，CPT PV = −87.57。

其他选项为什么错

A. 92.05 是按 2.8% 的 1 年期即期利率折现三年，忽略了第 2 年和第 3 年更高的远期利率。
C. 83.49 是按 6.2% 的 2y1y 利率折现三年，相当于把最后一年的利率用于每一年。

本题要点用远期利率折现第 N 年的现金流，要除以截至第 N 年所有单期因子的乘积。

第 5 题核心

The chart below shows the spot curve, the par curve and the forward curve of 1-year rates, all derived from the same set of government bond prices (annual compounding). The curves are labeled only X, Y and Z.

Line chart of three curves for maturities 1 to 8 years (forward rates plotted at the year in which the 1-year loan ends), all starting at 5.60% at one year and falling with maturity. Curve X: 5.60, 5.12, 4.74, 4.45, 4.22, 4.03, 3.88, 3.76 percent. Curve Y: 5.60, 5.10, 4.72, 4.41, 4.17, 3.98, 3.82, 3.69 percent. Curve Z: 5.60, 4.61, 3.95, 3.50, 3.21, 3.01, 2.87, 2.78 percent. Curve X lies slightly above Curve Y, and Curve Z is well below both. — Three curves derived from the same government bond prices

Curve X is most likely the:

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正确答案： A

图中是向下倾斜（倒挂）的环境。远期利率（forward rate）随期限下降时，即期利率（远期利率的几何平均数）下降得更慢，平价利率（即期利率的加权平均）紧贴即期利率、略高于它。所以最高的曲线 X 是平价收益率曲线（par curve）；Y 是即期利率曲线（spot curve），Z 是远期利率曲线（forward curve）。

其他选项为什么错

B. 即期利率曲线是 Y：倒挂环境下，它略低于平价收益率曲线，并高于远期利率曲线。
C. 远期利率曲线是 Z，它最低也最陡：正是不断下降的远期利率把即期利率曲线和平价收益率曲线往下拉。

本题要点正常曲线：远期 > 即期 > 平价。倒挂曲线：远期 < 即期 < 平价。水平曲线：三者相等。

本章题库共 41 道题。去题库全部练习。

本章要点

零息债券：YTM = 即期利率；收益率为正时，全部收益来自价格向面值上涨；没有再投资风险（reinvestment risk）。
无套利估值：每个现金流日期用一个即期利率。
曲线正常（向上倾斜）时，平价利率略低于即期利率。代入中间选项是考试中快速检验的办法。
用远期利率折现第 N 年的现金流，要除以截至第 N 年所有单期因子的乘积。
正常曲线：远期 > 即期 > 平价。倒挂曲线：远期 < 即期 < 平价。水平曲线：三者相等。