衍生品 · 第 73 章

衍生品定价中的套利、复制与持有成本（Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives）

CFA 一级 · 衍生品 · 第 73 章 · 约 10 分钟

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本章学习目标

LOS 73.a 解释套利和复制如何决定衍生品价格；远期定价错误时，找出相应的套利操作。
LOS 73.b 区分远期价格与预期未来即期价格；解释持有成本（cost of carry），即融资成本以及持有的成本和收益，如何决定无套利远期价格，包括连续复利的情形。

模块 73.1

套利、复制与持有成本（Arbitrage, Replication, and Carrying Costs）

本章讲衍生品（derivative）怎样用套利（arbitrage）和复制（replication）定价，以及持有标的资产（underlying）的成本和收益怎样决定远期价格（forward price）。考生要会在离散复利或连续复利（continuous compounding）下计算无套利远期价格，把持有成本、持有收益和两种货币的利率都算进去，还要能说出利用远期定价错误的交易。

LOS 73.a — 衍生品定价中的套利与复制

风险资产通常这样估值：用风险调整后的利率求预期现金流的现值（present value, PV）。衍生品则用**无套利条件（no-arbitrage condition）**定价。

套利是同时买入一项资产（或组合），并以更高的价格卖出另一项在每种状态下未来收益都相同的资产。它不需要净投入，锁定的是无风险收益。
套利机会也许不多，但一出现就会很快被利用。结果是未来收益相同的资产价格必然相同（一价定律（law of one price））。如果收益小于捕捉它的交易成本，小幅的定价错误可以一直存在。
复制是用现货市场头寸（标的资产加上按无风险利率借入或贷出）构建一个组合，使它在标的资产的任何取值下都和衍生品的收益相同。衍生品的价格必须等于复制组合的成本。把衍生品和相反方向的复制头寸放在一起，收益是确定的，所以适用的折现率（discount rate）是无风险利率（risk-free rate），也不需要对投资者的风险偏好做任何假设。

复制远期（标的资产没有持有成本和持有收益）

头寸	复制组合	$T$ 时的收益
以 $F_{0} (T)$ 建立的远期多头	借入 $S_{0}$ （利率为 $R_{f}$ ），买入标的资产	$S_{T} - S_{0} (1 + R_{f})^{T}$
以 $F_{0} (T)$ 建立的远期空头	卖空标的资产，所得按 $R_{f}$ 贷出	$S_{0} (1 + R_{f})^{T} - S_{T}$

让这些收益与远期的收益 $S_{T} - F_{0} (T)$ 相等，就得到无套利远期价格，它等于按无风险利率计算的即期价格的终值：

核心概念

F_{0} (T) = S_{0} (1 + R_{f})^{T}

持有资产并在远期卖出，就锁定了 $F_{0} (T)$ ：组合的收益是确定的，所以只能赚无风险利率。

利用定价错误的远期

核心概念

情形	远期价格…	套利操作	$T$ 时的利润
$F_{0} (T) > S_{0} (1 + R_{f})^{T}$	偏高	卖出远期，借入 $S_{0}$ 并买入标的资产	$F_{0} (T) - S_{0} (1 + R_{f})^{T}$
$F_{0} (T) < S_{0} (1 + R_{f})^{T}$	偏低	买入远期，卖空标的资产并把所得拿去投资	$S_{0} (1 + R_{f})^{T} - F_{0} (T)$

套利交易会把远期价格推回无套利水平。远期偏高的情形也可以从收益率的角度看：以 $S_{0}$ 买入资产、以 $F_{0} (T)$ 交割，收益率高于无风险利率，所以按 $R_{f}$ 借钱买入，就留下一笔无风险盈余（surplus）。

*例：*一只不付股息（dividends）的股票价格为 $50，1 年期无风险利率为 6%。无套利远期价格为 $50 \times 1.06 = $53.00$ 。如果交易商（dealer）报价 $54.00，就卖出远期，借入 $50 买入股票。一年后按 $54 交割股票，偿还 $50 \times 1.06 = $53$ ，不用期初投入，得到 $1.00 的无风险利润。如果报价是 $52.20，远期就太便宜：买入远期，卖空股票，把所得 $50 按 6% 贷出。一年后收回贷款 $53.00，按远期支付 $52.20 买入股票，归还股票平掉空头，得到 $0.80 的无风险利润。

LOS 73.b — 即期价格与预期未来价格，以及持有成本（cost of carry）

无套利远期价格不是对预期未来即期价格的预测。它是今天买入标的资产并持有到 $T$ 的成本：按 $R_{f}$ 计算的融资成本，加上其他持有成本，减去持有收益。

持有成本主要出现在大宗商品（commodity）上：仓储费、保险费和损耗。其现值为 $P V_{0} (cost)$ 。金融资产的这类成本可以忽略。
持有收益可以是货币性的（股息（dividends）、票息（coupon）利息），也可以是非货币性的。非货币性收益就是便利收益率（convenience yield），即实际持有大宗商品的好处，比如能在暂时短缺时卖出，资产难以卖空时尤其如此。其现值为 $P V_{0} (benefit)$ 。

核心概念

F_{0} (T) = [S_{0} + P V_{0} (cost) - P V_{0} (benefit)] (1 + R_{f})^{T}

换一种写法：远期价格等于 $S_{0} (1 + R_{f})^{T}$ 加上持有成本的终值（future value, FV），减去持有收益的终值。比如在结算日支付的 $2 股息，正好让远期价格降低 $2。

有净成本（成本大于收益）时，远期价格高于 $S_{0} (1 + R_{f})^{T}$ ；有净收益时，低于它。
持有成本和收益影响合约开始时的远期价格，也影响远期在存续期内的价值。到期时价值就是 $S_{T} - F_{0} (T)$ 。

连续复利的名义年利率（stated annual rate） $r$ 对应的有效年利率（effective annual rate, EAR）为 $e^{r} - 1$ 。期限 $T$ 年时， $F V = S e^{r T}$ ， $P V = S e^{- r T}$ 。用连续复利年利率表示（无风险利率 $r$ 、成本 $c$ 、收益 $b$ ，如股息收益率（dividend yield））：

F_{0} (T) = S_{0} e^{r T} F_{0} (T) = S_{0} e^{(r + c) T} F_{0} (T) = S_{0} e^{(r + c - b) T}

第一个公式用于没有成本和收益的情形，第二个用于只有成本的情形，第三个用于成本和收益都有的情形。

和即期价格本身相比，要看包括融资在内的总持有成本： $F_{0} (T) = S_{0}$ 对应 $r + c = b$ ， $F_{0} (T) > S_{0}$ 对应 $r + c > b$ ；只有收益超过融资成本加仓储成本时，才会出现 $F_{0} (T) < S_{0}$ 。

例：

离散复利：即期价格 200， $P V_{0} (cost) = 3$ ， $P V_{0} (benefit) = 1$ ， $R_{f} = 5%$ ， $T = 0.5$ 。则 $F_{0} = (200 + 3 - 1) (1.05)^{0.5} = 202 \times 1.024695 = 206.99$ 。
连续复利：指数为 5,000，股息收益率 2%，无风险利率（risk-free rate） 4%， $T = 0.5$ 。则 $F_{0} = 5, 000 e^{(0.04 - 0.02) (0.5)} = 5, 000 e^{0.01} = 5, 050.25$ 。

货币远期

汇率（exchange rate）以每单位基础货币（base currency）兑换多少计价货币（price currency）报价时，无套利远期汇率（forward rate）反映两种货币的利差：

F = S_{0} \times (\frac{1 + R _{price}}{1 + R _{base}})^{T} or, continuously compounded, F = S_{0} e^{(r_{price} - r_{base}) T}

其中 $R_{price}$ 和 $R_{base}$ 是有效年无风险利率， $T$ 以年计。一年期远期（ $T = 1$ ）的离散公式简化为 $S_{0} (1 + R_{price}) / (1 + R_{base})$ 。如果利率给的是远期合约期限内的收益率，就直接代入，不加指数。

利率较高的货币在远期贴水（forward discount），正好抵消它较高的利息收入。否则，借入一种货币、投资另一种货币就能赚到套利利润。如果远期汇率报价（price/base）高于无套利汇率，就借入计价货币，按即期汇率（spot rate）换成基础货币，按基础货币利率投资，同时在远期卖出基础货币。如果报价低于无套利汇率，每一步都反过来做。把利率换算成连续复利（ $r = ln (1 + R)$ ），得到的远期汇率相同。

*例：*即期汇率（spot rate）为 1.2500 USD/GBP（每英镑兑美元），1 年期无风险利率美元为 4%，英镑为 5%（有效年利率）。1 年期无套利远期汇率为 $1.2500 \times 1.04/1.05 = 1.2381$ USD/GBP。英镑是基础货币，利率较高，所以在远期能换到的美元比即期少。交易商报价 1.2450 就偏高：借入美元，按即期买入英镑，按 5% 投资英镑，同时按 1.2450 在远期卖出英镑。

变化（其他条件不变）	对无套利远期价格的影响
无风险利率上升	上升
仓储费或保险费上升	上升
股息、票息或便利收益率上升	下降
距结算日时间更长（净持有成本为正）	上升

常见考试陷阱

便利收益率（convenience yield）虽然是非货币性的，但它是收益，会降低远期价格。仓储费和保险费是成本。在上面的离散复利例子里，把收益 1 当成成本加上去，会得到 209.04，而不是 206.99。
衍生品定价假设套利机会会被很快利用。它不假设投资者风险中性（risk neutral），也不假设套利永远不会出现。

答题技巧

在结算日支付的现金收益正好让远期价格降低同样的金额，所以结算日支付的 $2 股息不用折现，也不用复利。
利率较高的货币在远期贴水，所以不用计算，看两个利率就能判断远期汇率相对即期汇率的方向。

本节要点

套利不需要净投入，锁定无风险收益，所以在每种状态下收益都相同的资产，价格必须相同（一价定律）。
衍生品的价格必须等于复制其收益的组合（标的资产加上无风险借入或贷出）的成本，所以用无风险利率（risk-free rate）定价，不需要对投资者的风险偏好做假设。
标的资产既没有持有成本也没有持有收益时，无套利远期价格是即期价格的终值， $F_{0} (T) = S_{0} (1 + R_{f})^{T}$ 。
如果 $F_{0} (T) > S_{0} (1 + R_{f})^{T}$ ，卖出远期，借入 $S_{0}$ 并买入标的资产；如果 $F_{0} (T) < S_{0} (1 + R_{f})^{T}$ ，买入远期，卖空标的资产并把所得拿去投资。
远期价格是买入标的资产并持有到结算日的成本， $F_{0} (T) = [S_{0} + P V_{0} (cost) - P V_{0} (benefit)] (1 + R_{f})^{T}$ ，它不是对预期未来即期价格的预测。
无风险利率（risk-free rate） $r$ 、成本 $c$ 和收益 $b$ 都用连续复利年利率表示时， $F_{0} (T) = S_{0} e^{(r + c - b) T}$ 。
汇率（exchange rate）以每单位基础货币（base currency）兑换多少计价货币（price currency）报价时， $F = S_{0} [(1 + R_{price}) / (1 + R_{base})]^{T}$ ，利率较高的货币在远期贴水（forward discount）。
其他条件不变，无风险利率（risk-free rate）上升，或仓储费和保险费上升，会提高远期价格；股息（dividends）、票息（coupon）或便利收益率（convenience yield）上升，会降低远期价格。

随堂小测

第 1 题核心

The no-arbitrage approach used to value derivatives relies on the assumption that:

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正确答案： A

衍生品估值假设：套利机会一出现，就会很快被交易消除。这种交易使未来现金流相同的资产价格相同。它不要求套利永远不发生，也不对投资者的风险态度做任何假设。

其他选项为什么错

B. 无套利定价用无风险利率（risk-free rate）折现，原因是衍生品和它的复制组合一多一空放在一起，收益是确定的。结果与投资者的风险偏好无关，所以不需要假设投资者风险中性。
C. 套利机会可能出现，实际上也会出现（交易成本超过收益时，小的套利机会甚至会一直存在）；假设的是它们会很快被消除。

本题要点无套利定价假设套利会在竞争中很快消失，所以收益相同的资产价格相同。

练习题

第 2 题核心

A share of Halvorsen Robotics, which pays no dividends, trades at $80.00, and the 1-year risk-free rate is 4%. A dealer quotes a 1-year forward price on the share of $82.50. Assuming no transaction costs, which strategy earns an arbitrage profit?

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正确答案： A

只要远期价格不等于即期价格的终值，就存在套利。这里无套利价格是 $83.20，报价 $82.50 偏低：买入远期，同时卖空股票、把所得拿去投资，复制一个远期空头。

S_{0} (1 + R_{f})^{T} = 80.00 \times 1.04 = $83.20 > $82.50

今天：卖空股票（+$80.00），按 4% 投资，以 $82.50 买入远期（不花钱）。净投入为 0。

一年后：投资收回 $80 \times 1.04 = $83.20$ ；按远期支付 $82.50 买入股票，归还股票平掉空头。利润 $= 83.20 - 82.50 = $0.70$ ，没有风险。

其他选项为什么错

B. 卖出远期并持有股票，是远期价格偏高时的套利。远期价格为 $82.50 时，这样做会亏损 $83.20 - 82.50 = $0.70$ 。
C. 拿远期价格和即期价格比，忽略了融资成本。正确的基准（benchmark）是 $S_{0} (1 + R_{f})^{T} = $83.20$ ，报价低于它。

本题要点远期太便宜，就买入远期，卖空现货资产并贷出所得。远期太贵，就卖出远期，借钱买入现货资产。

第 3 题核心

An analyst compares forwards on two commodities with the same spot price and the same time to settlement. Commodity P has no costs or benefits of holding. For commodity Q, storage and insurance costs exceed its convenience yield. Compared with the forward price on P, the no-arbitrage forward price on Q will be:

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正确答案： B

持有标的资产的成本超过收益时，净持有成本为正，无套利远期价格就高于没有成本和收益时的水平。

F_{0} (T) = [S_{0} + P V_{0} (cost) - P V_{0} (benefit)] (1 + R_{f})^{T}

对 Q 来说， $P V_{0} (cost) - P V_{0} (benefit) > 0$ ，所以 $F_{Q} > S_{0} (1 + R_{f})^{T} = F_{P}$ 。

其他选项为什么错

A. 持有收益（便利收益率）超过成本时，远期价格才会更低。
C. 持有成本和收益确实影响远期价格；只有两者现值相等时才会相互抵消。

本题要点净成本提高远期价格；净收益降低远期价格。

本章题库共 12 道题。去题库全部练习。

本章要点

无套利定价假设套利会在竞争中很快消失，所以收益相同的资产价格相同。
远期太便宜，就买入远期，卖空现货资产并贷出所得。远期太贵，就卖出远期，借钱买入现货资产。
净成本提高远期价格；净收益降低远期价格。