权益投资 · 第 50 章

资本资产定价模型、市场模型和其他基于因子的股票模型（The Capital Asset Pricing Model, Market Model, and Other Factor-Based Equity Models）

CFA 一级 · 权益投资 · 第 50 章 · 约 34 分钟

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本章学习目标

LOS 50.a 解释如何用 CAPM、市场模型（market model）、调整后贝塔与可比公司贝塔、市场风险溢价（market risk premium, MRP）的估计值以及国家风险溢价（country risk premium, CRP）来估计公司的权益必要收益率（required return on equity）。
LOS 50.b 描述套利定价理论和多因子模型（multifactor model），例如四因子模型（four-factor model），并解读因子贝塔（factor beta）。

模块 50.1

用市场模型和 CAPM 估计权益资本成本（Estimating the Cost of Equity With the Market Model and CAPM）

本章讲如何用 CAPM 估计权益必要收益率（required return on equity）：估计并调整贝塔系数（beta），对同业贝塔先去杠杆再加杠杆，估计市场风险溢价（market risk premium, MRP），再加上国家风险溢价。随后介绍套利定价理论（arbitrage pricing theory, APT）和四因子模型（four-factor model），包括如何用因子贝塔和因子溢价算预期收益率（expected return），以及如何解读它们的正负号。

LOS 50.a — 用 CAPM 和市场模型估计权益必要收益率

**必要收益率（required rate of return）**即权益资本成本（cost of equity），是股票估值模型里的折现率（discount rate），所以必须反映投资的风险。

CAPM 与证券市场线（security market line, SML）

资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）是单因子模型。只有系统性风险（systematic risk），即贝塔能获得定价：

核心概念

E (R_{i}) = R_{f} + β_{i} [E (R_{m}) - R_{f}]

$E (R_{m}) - R_{f}$ 是市场风险溢价（market risk premium, MRP）。以贝塔为横轴画出 CAPM，就是证券市场线（SML）。它的截距（intercept）是无风险利率（risk-free rate），斜率是市场风险溢价。无风险利率和收益预期变化时，SML 会随时间移动。

Expected return (%) against beta from 0 to 2. The SML is a straight line starting at the risk-free rate of 3% (the intercept) and passing through the market portfolio at beta 1 and expected return 9%. A stock with beta 1.2 lies on the line at 10.2%. A dotted triangle from beta 1 to beta 2 shows the slope, the market risk premium of 6%. — The security market line with Rf = 3% and E(Rm) = 9%

贝塔可以用相关性（correlation）和波动率计算： $β_{i} = ρ_{i, m} σ_{i} / σ_{m}$ 。例： $σ_{i} = 30%$ ， $ρ = 0.60$ ， $σ_{m} = 15%$ ，贝塔为 1.20。若 $R_{f} = 3%$ ， $E (R_{m}) = 9%$ ，则 $E (R_{i}) = 3% + 1.2 (6%) = 10.2%$ 。

估计贝塔：超额收益率回归与市场模型

估计贝塔的方法是：在一段**回溯期（lookback period）**内（例如五年的月度数据），用股票收益率对市场代理指标（例如宽基指数）做回归：

超额收益率（excess return）形式： $(R_{i, t} - R_{f, t}) = α + β_{i} (R_{m, t} - R_{f, t}) + ε_{t}$
市场模型（market model）（用实际收益率）： $R_{i, t} = α + β_{i} R_{m, t} + ε_{t}$ ，得到的贝塔估计值与上式相近。

解读回归结果：**贝塔的标准误（standard error）**衡量统计噪声（noise），标准误越高，估计越不可靠。 $R^{2}$ 衡量解释力。考试惯例：把 $R^{2}$ 说成股票与指数的相关系数。现行做法： $R^{2}$ 给出相关系数的大小，符号跟贝塔一致（贝塔为正，相关为正；贝塔为负，相关为负）。

回溯期的长短需要取舍。样本（sample）越长，标准误越低。但如果样本追溯到公司业务或资本结构（capital structure）不同的时期，算出的贝塔描述的就是一个已经不适用的风险状况。

调整后贝塔：均值回归（mean reversion）

贝塔用历史数据估计，而它算出的权益资本成本却用来折现未来现金流。市场模型估出的贝塔有向 1.0 回归的趋势。**调整后贝塔（adjusted beta）**是原始贝塔与 1.0 的加权平均：

adjusted beta = ω \times raw beta + (1 - ω) \times 1.0, ω commonly 2/3

例：原始贝塔 1.45，调整后为 $(2/3) (1.45) + 1/3 = 1.30$ 。原始贝塔高于 1 时向下调，低于 1 时向上调。常用的固定权重是 2/3，此时调整幅度与回溯期长短无关。

用可比公司估计贝塔：纯业务法（pure-play approach）

私人公司（没有价格历史）或资本结构有重大变化的公司，分析师改用同业贝塔。用同业等权组合估计贝塔，还能降低统计噪声，并反映行业的经营风险（business risk）。公司的贝塔同时反映经营风险和财务风险（financial risk），所以是杠杆贝塔（levered beta）。先去掉同业的杠杆（leverage），再加回目标公司的杠杆：

核心概念

β_{U} = \frac{β _{L, peers}}{1 + ( 1 - t _{peers} ) \frac{D}{E} _{peers}} β_{L, subject} = β_{U} [1 + (1 - t_{subject}) \frac{D}{E}_{subject}]

（D/E 为负债与权益市值之比。）去杠杆用同业的平均税率，再加杠杆用目标公司的税率。所有公司税率相同时，两步用同一个 $t$ 。例：同业贝塔 1.25，D/E 为 0.50，t = 20%，所以 $β_{U} = 1.25/1.40 = 0.893$ 。目标公司 D/E 为 0.25， $β_{L} = 0.893 \times 1.20 = 1.07$ 。杠杆低于同业，杠杆贝塔也就更低。

估计市场风险溢价

方法	做法	注意
历史法	指数过去相对无风险利率的平均超额收益率（用算术平均数（arithmetic mean）或几何平均数（geometric mean））	假设过去是对未来的无偏指引。样本处在繁荣期会高估 MRP，导致估值偏低。几何平均数低于算术平均数。
前瞻法	用固定增长模型从当前价格倒推	当前价格高，估计值就低

由于这些偏差，历史法和前瞻法的估计可能相互矛盾，分析师应重新检查各自背后的假设。

无风险利率的选择：短期利率通常低于长期利率，所以用短期利率算出的 MRP 更高。股票估值是长期的，用长期政府债券利率更合适。

前瞻法（隐含）估计：

E (R_{m}) = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g, M R P = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g - R_{f}

例：股息收益率（dividend yield）1.8%，增长率 6.0%，得 $E (R_{m}) = 7.8%$ 。 $R_{f} = 3.8%$ 时，MRP 为 4.0%。

新兴市场：国家风险溢价

发展中市场的股票，要在贝塔项里的市场风险溢价上再加国家风险溢价（country risk premium, CRP），用储备货币（reserve currency）表示（例如 USD 或 EUR）：

核心概念

C R P = sovereign bond yield spread \times \frac{σ _{equity index}}{σ _{sovereign debt}} E (R_{i}) = R_{f} + β_{i} (M R P + C R P)

主权债券（sovereign bond）收益率利差（yield spread）等于该国以储备货币发行的债券收益率减去储备货币基准（benchmark）收益率。无风险利率 $R_{f}$ 用基准（储备货币）收益率。新兴市场主权债券收益率已经含有利差，不能当作 $R_{f}$ 。例：利差 3.0%， $σ_{E} = 21%$ ， $σ_{D} = 14%$ ，CRP 为 4.5%。 $R_{f} = 3%$ ， $β = 0.8$ ，MRP 为 5%，则 $E (R) = 3% + 0.8 (9.5%) = 10.6%$ 。

常见考试陷阱

调整后贝塔：原始贝塔权重 $2/3$ ，1.0 的权重 $1/3$ 。不要把权重弄反，也不要漏掉 $1/3$ 那一项。原始贝塔 1.45 时，权重弄反得 1.15，漏掉 1/3 项得 0.97，正确答案是 1.30。
去杠杆用同业的 D/E 和税率，再加杠杆用目标公司的 D/E 和税率。两步都有 $(1 - t)$ 调整。上例中两步都漏掉 $(1 - t)$ ，无杠杆贝塔为 0.833，杠杆贝塔为 1.04，正确值是 0.893 和 1.07。
CRP：利差乘以 $σ_{E} / σ_{D}$ （股票波动率在分子），CRP 放在乘以贝塔的括号里面。上例中波动率之比倒过来，CRP 为 2.0%， $E (R) = 8.6%$ ；把 CRP 加在贝塔项外面，得 11.5%，正确答案是 10.6%。
前瞻法 MRP：要减去 $R_{f}$ 。股息收益率（dividend yield）加增长率只是市场预期收益率。上例中算到股息收益率加增长率就停下，得 7.8%，而 MRP 是 4.0%。

答题技巧

调整后贝塔是原始贝塔与 1.0 的加权平均，所以落在两者之间：原始贝塔高于 1 就向下调，低于 1 就向上调，落在这个区间以外的选项可以直接排除。
目标公司和同业税率相同时，杠杆低于同业的公司，杠杆贝塔低于同业；杠杆高于同业的，贝塔也更高。

本节要点

CAPM 为 $E (R_{i}) = R_{f} + β_{i} [E (R_{m}) - R_{f}]$ ，只对系统性风险（systematic risk）定价；证券市场线（SML）的截距是无风险利率（risk-free rate），斜率是市场风险溢价（market risk premium, MRP）。
贝塔等于 $ρ_{i, m} σ_{i} / σ_{m}$ ，在回溯期内用股票收益率对市场代理指标回归估计。样本（sample）越长，标准误越低，但描述的可能是已经不适用的业务或资本结构。
考试惯例：把 $R^{2}$ 的平方根说成股票与指数的相关系数；现行做法：它给出相关系数的大小，符号跟贝塔的符号一致。
调整后贝塔为 $ω \times raw beta + (1 - ω) \times 1.0$ ， $ω$ 通常取 2/3，因为市场模型（market model）估出的贝塔有向 1.0 回归的趋势。
纯业务法中，同业杠杆贝塔用同业的 D/E 和税率去杠杆，再用目标公司的 D/E 和税率加杠杆，两步都有 $(1 - t)$ 项。
前瞻法市场风险溢价（market risk premium, MRP）为 $D_{1} / P_{0} + g - R_{f}$ ，无风险利率用长期政府债券（government bond）利率更合适；新兴市场要把国家风险溢价（主权债券收益率利差乘以 $σ_{equity index} / σ_{sovereign debt}$ ）加到贝塔项里的 MRP 上。

随堂小测

第 1 题核心

Eighteen months ago, Galloway Industries sold its stable consumer division and financed a large acquisition mostly with new debt. An analyst estimating Galloway's beta with the market model decides to lengthen the lookback period from 2 years to 8 years. This change will most likely:

查看答案和解析

正确答案： C

回溯期拉长，样本（sample）变大，贝塔的标准误（standard error）降低。但新增的数据大多来自 Galloway 重组之前，那时它的业务组合和杠杆都不一样。所以估出的贝塔描述的是过去的状况，而不是公司未来的系统性风险（systematic risk）。

其他选项为什么错

A. 观测值越多，标准误确实越低。但贝塔如果主要建立在过时的商业模式（business model）和资本结构的数据上，对未来风险的指引反而更差。
B. 均值回归调整是另外对原始贝塔做的。按常用的固定权重（原始贝塔占三分之二），调整幅度不随回溯期长短变化。

本题要点回溯期越长，统计噪声越少，但陈旧数据越多。业务或资本结构发生重大变化后，陈旧数据占了主导，这时通常改用同业（纯业务法）贝塔更好。

模块 50.2

套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory）

LOS 50.b — 套利定价理论与多因子模型

为什么要超越 CAPM？

实证研究表明，单一市场因子不足以解释不同股票之间的收益差异。因此需要包含多个定价风险因子的模型。

套利定价理论（APT）

**套利定价理论（arbitrage pricing theory, APT）是用多因子模型（multifactor model）**估计股票预期收益率（expected return）的框架：

核心概念

E (R_{i}) = R_{f} + β_{1 i} f_{1} + β_{2 i} f_{2} + \dots + β_{k i} f_{k}

其中 $β_{k i}$ 是股票 i 对第 k 个风险因子的贝塔系数（beta）， $f_{k}$ 是第 k 个风险因子的风险溢价（risk premium）。

APT 是统计因子模型（statistical factor model）：理论本身把因子的选择交给分析师，研究者既试过宏观经济因子，也试过公司特征因子（风格或特征因子）。下表把它和资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）作对比。

核心概念

	CAPM	APT
因子数量	一个	不指定
因子是什么	市场组合（market portfolio）（通过市场风险溢价（market risk premium, MRP）定价）	不指定（宏观经济因子、风格因子或其他公司特征因子）

四因子模型（four-factor model）

一种常用的设定是在市场因子之外，再加上规模、价值和动量因子：

E (R_{i}) = R_{f} + β_{mk t} [E (R_{m}) - R_{f}] + β_{S M B} E (S M B) + β_{H M L} E (H M L) + β_{U M D} E (U M D)

每个非市场因子都是一个**零成本多空组合（zero-cost, long-short portfolio）**的收益率（多头和空头金额相等）：

核心概念

因子	多头	空头	贝塔为正表示……	贝塔为负表示……
规模因子（size, SMB: small minus big）	小盘股	大盘股	表现类似小盘股	表现类似大盘股
价值因子（value, HML: high-value minus low-value; high minus low book-to-market）	价值股	成长股	价值股	成长股
动量因子（momentum, UMD: up minus down）	近期赢家	近期输家	近期赢家继续跑赢时受益	近期赢家跑赢时受损

这些多空因子的贝塔在所有股票中的平均值预计约为零，所以单只股票的因子贝塔常常为负。市场贝塔则平均为 1.0，市场贝塔为 1.0 表示承担平均的市场风险。贝塔用历史数据做多元回归估计。

因子贝塔的符号表示股票随该因子多空收益率变动的方向。某只股票对某个因子的贝塔为负，那么当该因子的多头跑赢空头时，这只股票往往表现落后。如果没有给出某个因子的贝塔，就无法判断股票对该因子的反应。

例： $R_{f} = 3%$ 。贝塔与溢价（premium）分别为：市场 0.9 × 6%，规模 0.5 × 2%，价值 −0.3 × 4%，动量 0.2 × 5%。

E (R) = 3% + 5.4% + 1.0% - 1.2% + 1.0% = 9.2%

这只股票表现类似小盘成长股（规模贝塔为正，价值贝塔为负），并略带动量倾向。

多因子模型在股票投资中的用途

估计权益资本成本（cost of equity）。 多因子预期收益率对每一项因子暴露都加上一份溢价。所以两只市场贝塔相同的股票，如果一只偏向小盘股或价值股，必要收益率就会不同。
描述股票或组合。 因子贝塔的符号和大小概括了它的风格（大盘或小盘、价值或成长、动量或逆向），不用查看持仓。
挑选可比公司。 因子贝塔相近的公司组成统计因子可比公司组（statistical factor-based peer group），用于乘数估值（见 Reading 45）。不足之处是，用历史数据估计的贝塔未必能持续。

常见考试陷阱

说 APT 只用宏观经济因子，或者说 APT 指定了因子。它既不指定因子数量，也不指定因子是什么。
以为非市场因子贝塔平均为 1（那是市场贝塔），或者把无风险利率（risk-free rate）和贝塔混为一谈。
把多空两边搞混：规模因子是做多小盘股、做空大盘股；价值因子是做多价值股、做空成长股；动量因子是做多近期赢家、做空近期输家。
算预期收益率时丢掉负因子贝塔的符号。上例中把价值项当作 +1.2%，得 11.6%，正确答案是 9.2%。

本节要点

单一市场因子不足以解释不同股票之间的收益差异，这推动了多因子模型（multifactor model）的发展，例如套利定价理论 $E (R_{i}) = R_{f} + β_{1 i} f_{1} + \dots + β_{k i} f_{k}$ 。
APT 是统计因子模型，既不指定因子数量，也不指定因子是什么；CAPM 只有一个因子，即市场组合（market portfolio）。
四因子模型在市场因子之外加入规模（SMB）、价值（HML）和动量（UMD）因子，这三个因子都用多空金额相等的零成本组合衡量。
SMB 贝塔为正，表示股票表现类似小盘股；HML 贝塔为正，表示类似价值股；贝塔为负则分别指向大盘股和成长股。算预期收益率时，负因子贝塔必须保留符号。
多空因子的贝塔在所有股票中平均约为零，所以单只股票的贝塔常常为负；市场贝塔平均为 1.0。
多因子模型（multifactor model）用于估计权益资本成本（两只市场贝塔相同的股票，必要收益率可能不同）、描述股票或组合的风格，以及组成统计因子可比公司组（statistical factor-based peer group）。不过，用历史数据估计的贝塔未必能持续。

随堂小测

第 2 题核心

An analyst estimates the following four-factor model betas for Tidewater Logistics:

Four-factor model betas for Tidewater Logistics

Factor	Beta
Market	0.90
Size (SMB)	−0.30
Value (HML)	0.42
Momentum (UMD)	−0.15

Based on these betas, Tidewater is most appropriately characterized as a:

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正确答案： C

在四因子模型中，规模因子（SMB）是买入小盘股、做空大盘股的零成本组合的收益率。Tidewater 的规模贝塔为负（−0.30），说明在小盘股跑赢大盘股的时期，它往往获得负的增量收益，属于大盘股。价值因子做多高账面市值比（价值）股票、做空低账面市值比（成长）股票；Tidewater 的价值贝塔为正（0.42），说明它与价值股同向变动。两个符号合起来，Tidewater 是大盘价值股。市场贝塔（0.90）和动量贝塔（−0.15）与规模和风格分类无关。

其他选项为什么错

A. 小盘股对规模因子的贝塔应为正，因为它会和组合的小盘股多头同向变动。Tidewater 的规模贝塔为负（−0.30），所以表现类似大盘股，尽管它的价值贝塔为正，确实指向价值股。
B. 成长股对价值因子的贝塔应为负，因为它会和组合的空头（低账面市值比）同向变动。Tidewater 的价值贝塔为正（0.42），所以“成长股”的说法不对，尽管“大盘股”那部分是对的。

本题要点规模贝塔符号：+ 小盘，− 大盘。价值贝塔符号：+ 价值，− 成长。

练习题

第 3 题核心

A broad equity index currently offers a dividend yield of 2.2%, and its earnings and dividends are expected to grow at 5.5% a year over the long term. The risk-free rate is 3.1%. A forward-looking estimate of the market risk premium is closest to:

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正确答案： A

前瞻法估计值由当前价格倒推。把固定增长模型变形，市场预期收益率等于股息收益率（dividend yield）加长期增长率。再减去无风险利率，就是隐含的市场风险溢价（market risk premium, MRP）。

E (R_{m}) = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g = 2.2% + 5.5% = 7.7%

M R P = 7.7% - 3.1% = 4.6%

其他选项为什么错

B. 7.7% 是市场指数的预期收益率（ $2.2% + 5.5%$ ），没有减去无风险利率。
C. 10.8% 把无风险利率加到股息收益率和增长率上，而不是减去： $7.7% + 3.1%$ 。

本题要点前瞻法 $M R P = D_{1} / P_{0} + g - R_{f}$ 。

本章题库共 14 道题。去题库全部练习。

本章要点

回溯期越长，统计噪声越少，但陈旧数据越多。业务或资本结构发生重大变化后，陈旧数据占了主导，这时通常改用同业（纯业务法）贝塔更好。
前瞻法 $M R P = D_{1} / P_{0} + g - R_{f}$ 。
规模贝塔符号：+ 小盘，− 大盘。价值贝塔符号：+ 价值，− 成长。