固定收益 · 第 56 章

固定收益债券估值：价格与收益率（Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields）

CFA 一级 · 固定收益 · 第 56 章 · 约 36 分钟

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本章学习目标

LOS 56.a 在付息日或两个付息日之间，根据到期收益率（yield to maturity, YTM）计算债券价格（应计利息（accrued interest）、净价（flat price）和全价（full price））。
LOS 56.b 说明价格与票面利率（coupon rate）、期限和 YTM 的关系，包括凸性（convexity）和向面值回归（pull to par）。
LOS 56.c 描述矩阵定价法（matrix pricing）如何给不交易或交易不活跃的债券定价。

模块 56.1

固定收益债券估值：价格与收益率（Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields）

本章把固定利率债券的价值看作其承诺现金流的现值（present value），分别在付息日和两个付息日之间估值，并把价格和票面利率（coupon rate）、期限、收益率联系起来。考生要会做这几件事：对任何付息频率计算债券价格或 YTM；把全价拆成净价和应计利息；解释价格为什么向面值（par value）靠拢；用矩阵定价法估计流动性（liquidity）差的债券的收益率。

LOS 56.a — 在付息日和两个付息日之间给债券定价

价格 = 承诺现金流的现值

债券的价值等于每一笔承诺票息（coupon）和本金（principal）的现值之和。使这个和等于市场价格的那个单一折现率（discount rate），就是到期收益率（yield to maturity, YTM），也叫市场折现率（market discount rate）。已知 YTM 可以算出价格；已知价格也可以反解 YTM。

每年付息一次的债券（annual-pay bond），剩余 $N$ 年，票息为 $C$ ，面值为 $F V$ ：

P = \frac{C}{( 1 + Y T M )} + \frac{C}{( 1 + Y T M ) ^{2}} + \dots + \frac{C + F V}{( 1 + Y T M ) ^{N}}

每半年付息一次的债券（semiannual-pay bond），用半年票息 $C /2$ 、期利率（periodic rate） $Y T M /2$ 和 $2 N$ 期：

核心概念

P = t = 1 \sum 2 N \frac{C /2}{( 1 + Y T M /2 ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + Y T M /2 ) ^{2 N}}

同样的思路适用于任何年付息次数（periodicity）：每季度付息的债券用 $C /4$ 、 $Y T M /4$ 和 $4 N$ 期。报价的 YTM 是名义年利率（stated annual rate），即每期收益率乘以每年的期数。只有债券每年付息一次时，它才是有效年利率（effective annual rate, EAR）。所以半年付息债券的每期收益率就是报价 YTM 除以 2，不开平方。

**零息债券（zero-coupon bond）**只有一笔现金流，所以 $P = F V / (1 + Y T M / m)^{m N}$ ，其中 $m$ 是每年的期数。

例（年付与半年付）： 一只 6 年期、票面利率 4.5% 的债券，按 YTM 5.5% 估值，每 100 面值的价格如下。

每年付息：N = 6, I/Y = 5.5, PMT = 4.5, FV = 100, CPT PV = −95.00，价格为 95.00。
每半年付息：N = 12, I/Y = 2.75, PMT = 2.25, FV = 100, CPT PV = −94.95，价格为 94.95。

在 TI BA II Plus 上，保持 P/Y = C/Y = 1 和 END 模式，输入每期数值，并先清空工作表（[2ND] [CLR TVM]）。算出的 PV 是负数：它是买方付出的现金，而 PMT 和 FV 是收到的现金。利率按百分数输入（5.5% 输入 5.5）。

例（求 YTM）： 一只 8 年期、票面利率 3%、半年付息的债券，价格为 94.00：N = 16, PV = −94, PMT = 1.5, FV = 100, CPT I/Y = 1.94。这是半年收益率，所以名义 YTM $= 1.94% \times 2 = 3.88%$ 。如果 PV 和 PMT、FV 输入成同一符号，计算器会报错。

投资者实际赚到 YTM 需要三个条件：（1）持有到到期日（maturity）；（2）发行人（issuer）按时支付每一笔承诺款项；（3）每笔票息都按同一个 YTM 再投资。

应计利息、净价和全价

交易通常在两个付息日之间结算。买方拿到下一期的全部票息，但其中一部分是卖方赚的。这一部分就是应计利息（accrued interest）：

A I = \frac{t}{T} \times P M T

其中 $t$ 是从上一个付息日到**结算日（settlement date）**的天数， $T$ 是这个付息期的天数。下图用的是后面的例子。

Splitting a coupon between seller and buyer when a trade settles between coupon dates

计息天数惯例（day-count convention）	天数怎么算	常见用途
实际/实际（actual/actual）	按计息期和付息期内的实际日历天数	政府债券（government bond）
30/360	每月算 30 天，每年算 360 天	公司债券（corporate bond）

例：一只每年付息、票面利率 3.6% 的债券在 2025 年 10 月 12 日付息，一笔交易在 2026 年 1 月 3 日结算。按 30/360，计息天数为 $18 + 30 + 30 + 3 = 81$ ，所以每 100 面值的 $A I = 3.6 \times 81/360 = 0.810$ 。按实际/实际，天数为 $19 + 30 + 31 + 3 = 83$ ，所以 $A I = 3.6 \times 83/365 = 0.819$ 。

净价（flat price），英文也叫 clean price或报价（quoted price），不含应计利息。按净价报价，价格就不会每天上涨、每到付息日又往下跳。
全价（full price），也叫发票价格（invoice price）或含息价格（dirty price），是买方实际支付的金额：全价 = 净价 + 应计利息，所以净价 = 全价 − 应计利息。

核心概念

在两个付息日之间给债券估值，先算全价，再减去 AI：

用剩余票息，算出债券在上一个付息日的价格（ $P V_{0}$ ）。
按每期 YTM $r$ ，把这个价值向前复利已经过去的那部分期间： $P V^{f u l l} = P V_{0} \times (1 + r)^{t / T}$ 。
净价 $= P V^{f u l l} - A I$ 。

例：一只票面利率 3%、半年付息的政府债券（government bond），付息日为 1 月 31 日和 7 月 31 日，YTM 为 3.4%。一笔交易在 2026 年 4 月 14 日结算，还剩 8 次付息。实际天数 $t = 73$ ， $T = 181$ 。
$P V_{0}$ ：N = 8, I/Y = 1.7, PMT = 1.5, FV = 100, CPT PV = −98.516。全价 $= 98.516 \times 1.01 7^{73/181} = 99.188$ 。 $A I = 1.5 \times 73/181 = 0.605$ 。净价 $= 99.188 - 0.605 = 98.583$ 。净价和 $P V_{0}$ 不相等。

例题详解：公司债券的全价和净价

一只公司债券（corporate bond）票面利率 5.4%，每年 3 月 15 日和 9 月 15 日各付息一次，采用 30/360 计息，2030 年 9 月 15 日到期。一笔交易在 2026 年 6 月 27 日结算，YTM 为 4.6%。计算每 100 面值的应计利息、全价和净价。

第 1 步：上一次付息在 2026 年 3 月 15 日，还剩 9 次半年票息，每次 2.7。按 30/360，计息天数为 $30 + 30 + 30 + 12 = 102$ ，付息期为 180 天。

第 2 步：按每期收益率 $4.6%/2 = 2.3%$ ，算上一个付息日的价值：N = 9; I/Y = 2.3; PMT = 2.7; FV = 100; CPT PV = −103.22。

第 3 步：全价 $= 103.22 \times 1.02 3^{102/180} = 104.56$ 。

第 4 步：应计利息 $= 2.7 \times 102/180 = 1.53$ 。

第 5 步：净价 $= 104.56 - 1.53 = 103.03$ 。

结果：买方每 100 面值支付全价 104.56，债券的报价（净价）为 103.03。两者都高于面值，和票面利率（5.4%）高于 YTM（4.6%）的情况一致。

常见考试陷阱（56.a）

半年付息或季度付息的债券用了年度的 N、I/Y 和 PMT：三个输入都要换成每期数值。例子中 6 年期、票面利率 4.5%、半年付息、YTM 5.5% 的债券，用年度输入得到 95.00，而不是 94.95。
从发行日起算年数，而不是用剩余期限。题目问未来某日的价格时，用那一天的剩余期数定价；当初的买入价格无关。
把报价当成实际支付的金额。卖方收到的是全价，即报价加应计利息。
把应计利息加到上一个付息日的价值上，或把应计利息和现金流一起折现。两种做法都不对。在 4 月 14 日的例子里，把 AI 加到 $P V_{0}$ 上得到的全价是 99.121，而不是 99.188。
给**递延付息债券（deferred coupon bond）**估值时，当成从第 1 年就开始付息。每笔票息要从实际支付的那一年折现；递延使价格明显低于其他条件相同、立即开始付息的债券。

LOS 56.b — 价格、票息、期限和收益率的关系

核心概念

票面利率与 YTM	价格与面值	名称
票面利率 > YTM	价格 > 面值	溢价（premium）债券
票面利率 = YTM	价格 = 面值	平价债券（par bond）
票面利率 < YTM	价格 < 面值	折价（discount）债券

票面利率低于 YTM，有时叫不足票息（deficient coupon）；票面利率高于 YTM，叫超额票息（excessive coupon）。

**无期权债券（option-free bonds）**在其他条件相同时，有以下几条关系：

反向关系。 YTM 越高，价格越低；YTM 越低，价格越高。
票息效应。 收益率变动相同时，低票息债券的价格比高票息债券的价格更敏感。
期限效应。 收益率变动相同时，长期债券的价格比短期债券的价格更敏感。
凸性（convexity）。价格—收益率曲线是凸的。收益率变动幅度相同时，收益率下降带来的价格上涨大于收益率上升带来的价格下跌。收益率上升时，价格下降，而且降得越来越慢。

Left panel: price per 100 of par of a 10-year, 5% annual-pay bond plotted against yield to maturity from 1% to 11%; the curve is convex and downward sloping, with marked points 117.06 at 3%, 100.00 at 5% and 85.95 at 7%. Right panel: prices of a 5% annual-coupon bond with 5, 4, 3, 2, 1 and 0 years remaining when the yield is held constant: at 3% YTM (premium) 109.16, 107.43, 105.66, 103.83, 101.94, 100.00; at 5% YTM (par) 100.00 throughout; at 7% YTM (discount) 91.80, 93.23, 94.75, 96.38, 98.13, 100.00. — Price-yield convexity and constant-yield price trajectories

左图中，10 年期、票面利率 5%、每年付息的债券，YTM 为 3% 时价值 117.06，5% 时为 100.00，7% 时为 85.95。收益率下降 2 个百分点，价格上涨 17.06；收益率上升 2 个百分点，价格只下跌 14.05。

向面值回归（pull to par）：不论收益率是多少，临近到期时债券价格都会收敛到面值。YTM 保持不变时，价格走过的路径就是恒定收益率价格轨迹（constant-yield price trajectory）：

溢价债券的价格随时间下降到面值。右图（YTM 3%）中，价格从 109.16 降到 107.43，一直降到 100。
折价债券的价格上升到面值。YTM 为 7% 时，价格从 91.80 升到 93.23，一直升到 100。
平价债券（par bond）只要 YTM 等于票面利率，价格就一直等于面值。
收益率为正时，零息债券（zero-coupon bond）是折价债券，所以收益率不变时，它的价格稳步上升到面值。

反过来推也成立。如果过了一段时间，折价债券的价格没变，它的 YTM 一定上升了：恒定收益率下价格本应上涨，价格不变就说明收益率更高。溢价债券价格不变，则 YTM 一定下降了。

常见考试陷阱（56.b）

把敏感度方向弄反。低票息和长期限对应更高的价格敏感度。
以为价格对收益率上升比对收益率下降更敏感。凸性（convexity）使情况正好相反。
以为债券会一直保持发行时的溢价（premium）或折价（discount）状态。要看的是今天的 YTM 和票面利率的比较。
忘了即使收益率不变，单是时间流逝也会改变非平价债券的价格。

LOS 56.c — 矩阵定价法

矩阵定价法（matrix pricing）用来估计不交易或交易不活跃（即流动性低）的债券的 YTM，进而得到价格。它用的是信用质量相同或非常接近、票息和期限相近、交易活跃的债券的 YTM 观察值。没有期限完全相同的可比债券时，分析师用线性插值（linear interpolation）：

Y T M_{t a r g e t} = Y T M_{s h or t} + \frac{T _{t a r g e t} - T _{s h or t}}{T _{l o n g} - T _{s h or t}} (Y T M_{l o n g} - Y T M_{s h or t})

做法分四步：

选出有交易的可比债券，记下它们的 YTM。
如果几只可比债券期限相同，取它们收益率的平均值。
在目标债券期限两侧的两个期限之间插值。
用估计出的 YTM 折现目标债券的现金流，得到价格。

例：要给一只交易稀少的 4 年期、票面利率 5%、每年付息的债券定价。评级相同的可比债券收益率为 3.9%（一只 3 年期债券），以及 5.0% 和 5.2%（两只 7 年期债券）。7 年期的平均值为 5.1%，插值收益率为 $3.9% + \frac{1}{4} (5.1% - 3.9%) = 4.2%$ ，价格为 N = 4, I/Y = 4.2, PMT = 5, FV = 100, CPT PV = −102.89。

另一种基于利差的做法用来确定新发债券的收益率：

找一只同一发行人（issuer）或同一行业、信用质量相近的存量债券。
计算它相对同期限政府债券收益率基准（benchmark）的利差，必要时对基准收益率插值。
把这个利差加到新债券期限对应的基准收益率上。

例： 2 年期和 4 年期政府债券（government bond）收益率分别为 1.60% 和 2.20%，一只存量 3 年期 AA 级公司债券（corporate bond）收益率为 3.05%。插值得到的 3 年期政府债券收益率为 1.90%，所以利差为 1.15%。新发的 4 年期 AA 级债券收益率应约为 $2.20% + 1.15% = 3.35%$ 。

常见考试陷阱（56.c）

用发行人的资本成本或违约概率（probability of default）模型来做矩阵定价，而不用可比交易债券的收益率。
从错误的一端插值，或者目标期限不在中点时直接把两个收益率取平均。在 4 年期的例子里，3.9% 和 5.1% 的平均值是 4.5%，而不是 4.2%。
用利差法时，拿期限不匹配的基准来算利差。用 4 年期政府债券（government bond）收益率算 3 年期 AA 级债券的利差，得到 0.85%，新发债券收益率为 3.05%，而正确结果是 1.15% 和 3.35%。

答题技巧

比较票面利率和 YTM，不用计算就能知道价格高于、等于还是低于面值，落在面值错误一侧的选项可以直接排除。
过了一段时间，折价债券价格不变，说明 YTM 一定上升了；溢价债券价格不变，说明 YTM 一定下降了。只问方向时不必重新定价。

本节要点

债券价格是票息和本金（principal）按 YTM 折现的现值；半年付息债券用票息 $C /2$ 、期利率（periodic rate） $Y T M /2$ 和 $2 N$ 期。
报价的 YTM 是名义年利率（stated annual rate），即每期收益率乘以每年期数；只有每年付息一次的债券，它才是有效年利率（effective annual rate, EAR）。
只有持有到期、发行人（issuer）支付每一笔承诺款项、每笔票息都按同一 YTM 再投资，投资者才能赚到 YTM。
两个付息日之间，全价等于上一个付息日的价值按每期 YTM 复利， $P V^{f u l l} = P V_{0} \times (1 + r)^{t / T}$ ；应计利息为 $t / T \times P M T$ ，全价减去应计利息得到净价（报价）。
政府债券（government bond）的应计利息通常按实际/实际计算，公司债券（corporate bond）按 30/360 计算。
票面利率高于 YTM 的债券溢价（premium）交易，等于 YTM 的平价交易，低于 YTM 的折价（discount）交易。
对无期权债券（option-free bonds），其他条件相同时，票息越低、期限越长，价格对收益率变动越敏感；凸性（convexity）使收益率下降带来的涨幅大于同等幅度上升带来的跌幅。
矩阵定价法根据信用质量、票息和期限非常接近的交易债券的收益率，估计不交易或交易不活跃债券的 YTM，在目标期限两侧的期限之间做线性插值。

随堂小测

第 1 题核心

Five years ago, Kessler Freight Lines sold 25-year bonds with a 5.5% annual coupon, paid semiannually, to finance new rail terminals. The bonds now yield 5.2%. The price of the bonds per 100 of par is closest to:

查看答案和解析

正确答案： A

只有剩余 20 年（40 个半年期）的现金流有意义。票面利率 5.5% 高于收益率 5.2%，所以债券溢价（premium）交易。

剩余期限 $= 25 - 5 = 20$ 年，所以 $N = 40$ ； $P M T = 5.5/2 = 2.75$ ；期收益率 $= 5.2%/2 = 2.6%$ 。

P = t = 1 \sum 40 \frac{2.75}{1.02 6 ^{t}} + \frac{100}{1.02 6 ^{40}} = 103.70

计算器 BA II Plus（设为 P/Y = C/Y = 1，END 模式；先用 [2ND] [CLR TVM] 清空）：N = 40; I/Y = 2.6; PMT = 2.75; FV = 100; CPT PV = −103.70。

其他选项为什么错

B. 102.32 把剩余年数 $N = 20$ 当成了半年期数。应为 40 期。
C. 96.39 把票面利率和收益率弄反了（票面利率 5.2%，按每半年 2.75% 折现）。结果是折价（discount），而这只债券实际上是溢价债券。

本题要点从今天起算剩余期限，再换算成期数。发行日无关。

练习题

第 2 题核心

With respect to a bond traded between coupon dates, accrued interest:

查看答案和解析

正确答案： A

应计利息是下一期票息中属于卖方的部分：票息乘以从上一个付息日到结算日（settlement date）占整个付息期的比例。买方会拿到下一期的全部票息，所以把这部分作为全价的一部分付给卖方。

A I = \frac{t}{T} \times P M T

其中 $t$ = 从上一次付息到结算日的天数， $T$ = 付息期的天数。

其他选项为什么错

B. 下一期票息中卖方没有赚到的部分属于买方。应计利息是卖方已经赚到的部分。
C. 应计利息不是单独拿来折现的一笔现金流。全价是上一个付息日的 PV 向前复利到结算日，再从全价中减去应计利息得到净价。

本题要点应计利息 = 当期票息中卖方已赚到的部分；全价 = 净价 + AI。

第 3 题核心

Holding all other features constant, which of the following statements about option-free bonds is most accurate?

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正确答案： A

其他条件相同时，期限越长，债券价值中来自远期现金流的部分越多，所以收益率变动相同时价格反应更大。低票息债券也比高票息债券更敏感。

无期权债券（option-free bonds）的敏感度小结：

期限越长，价格越敏感。
票息越低，价格越敏感。
由于凸性（convexity），收益率下降带来的价格涨幅大于同等幅度上升带来的价格跌幅。

其他选项为什么错

B. 价格—收益率关系是凸的，所以价格对收益率下降比对同等幅度的上升更敏感：收益率越低，债券价格的敏感度越高。
C. 关系正好相反。低票息债券更敏感，因为它的价值中有更大比例来自到期支付的本金。

本题要点期限长、票息低 = 价格敏感度高；凸性使收益率下降时更有利。

第 4 题核心

Marguerite Olsen wants to estimate the yield to maturity of a non-traded 7-year, annual-pay bond rated A. Actively traded A-rated bonds yield 4.10% at a 5-year maturity and 5.60% at a 10-year maturity. Using matrix pricing, the estimated YTM for the non-traded bond is closest to:

查看答案和解析

正确答案： C

矩阵定价法在评级相同、有交易的可比债券收益率之间做线性插值。7 年期位于 5 年到 10 年之间五分之二的位置。

Y T M_{7} = 4.10% + \frac{7 - 5}{10 - 5} (5.60% - 4.10%) = 4.10% + 0.4 \times 1.50% = 4.70%

其他选项为什么错

A. 5.00% 从错误的一端套用了五分之二的权重（ $5.60% - 0.4 \times 1.50%$ ）。
B. 4.85% 是两个收益率的简单平均。只有 7 年恰好是 5 年和 10 年的中点时，这样做才对。

本题要点按距离较短期限的远近成比例插值。

本章题库共 53 道题。去题库全部练习。

本章要点

从今天起算剩余期限，再换算成期数。发行日无关。
应计利息 = 当期票息中卖方已赚到的部分；全价 = 净价 + AI。
期限长、票息低 = 价格敏感度高；凸性使收益率下降时更有利。
按距离较短期限的远近成比例插值。