投资组合的风险与收益（第二部分）（Portfolio Risk and Return: Part II）

本章在风险投资组合中加入无风险资产（risk-free asset），推导出资本配置线（capital allocation line, CAL）和资本市场线（capital market line, CML）；区分系统性风险（systematic risk）与非系统性风险（unsystematic risk）；介绍收益生成模型（return generating model）、市场模型（market model）和贝塔系数（beta）的计算。随后推导资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）和证券市场线（security market line, SML），说明如何计算必要收益率（required return）、识别定价错误的证券，以及如何计算和解释夏普比率（Sharpe ratio）、M 平方（M-squared）、特雷诺比率（Treynor measure）和詹森阿尔法（Jensen's alpha）。

LOS 88.a — 在风险投资组合中加入无风险资产

无风险资产的收益率标准差（standard deviation）为零，所以它的收益率（rate of return）与任何风险资产收益率的协方差（covariance）为零。考试惯例：无风险资产与任何风险资产的相关性为零（zero correlation）。现行做法：标准差为零时相关系数没有定义，为零的只是协方差，而公式需要的也只是协方差。投资者把权重 $w$ 投入风险投资组合 P，把 $1-w$ 投入无风险资产，两资产投资组合的公式就简化为两个简单的式子：

• **预期收益率（expected return）是无风险利率（risk-free rate）**和风险投资组合预期收益率的加权平均。
• 标准差等于风险权重乘以风险投资组合的标准差，因为无风险资产既不贡献方差（variance），也不贡献协方差（covariance）。
• $E(R_C)$ 和 ${\sigma }_C$ 都是 $w$ 的线性函数，所以每个组合都落在一条直线上：这条线从纵轴上的 $R_f$ 出发，经过 P。

因此，一个风险投资组合加上无风险资产，就能让风险厌恶（risk aversion）程度差别很大的投资者各自达到想要的风险水平。这样得到的组合可以占优于直线下方的风险投资组合。

LOS 88.b — 资本配置线（CAL）与资本市场线（CML）

资本配置线（CAL）是无风险资产与某一个风险投资组合搭配后，可得到的各种风险—收益组合所连成的直线。每个风险投资组合都有自己的 CAL。在所有 CAL 中，投资者应选她最偏好的那组组合所在的线。这就是从 $R_f$ 出发最陡的那条线，它与有效前沿（efficient frontier）相切（tangent），称为最优 CAL（optimal CAL）。切点就是最优风险投资组合（optimal risky portfolio）：在所有风险投资组合中，它每单位标准差的超额收益率（excess return）$[E(R_P)-R_f]/{\sigma }_P$ 最高，也就是 LOS 88.i 中的夏普比率。每条 CAL 都从 $R_f$ 出发，所以在大于零的每个风险水平上，最优 CAL 的预期收益率（expected return）都高于其他任何 CAL。

图中 $R_f=3\%$。B 的预期收益率高于全球最小方差投资组合（global minimum-variance portfolio, GMVP）A，CAL 也更陡：$(9.0-3)/20=0.30$，对比 $(4.6-3)/8=0.20$。T 的 CAL 还要陡，为 $(9.4-3)/16=0.40$，所以 T 是最优风险投资组合。B 位于前沿内侧，T 的风险比 B 低，预期收益率又比 B 高。投资者再在最优 CAL 上选出使她**预期效用（expected utility）**最大的点，也就是她能达到的最高无差异曲线（indifference curve）与这条线相切的地方。

如果投资者的预测各不相同，每个人会找到不同的切点组合和不同的 CAL。资本市场理论（capital market theory）假设同质预期（homogeneous expectations）：所有人对预期收益率、标准差和相关性（correlation）的估计都相同。于是所有人面对同一条有效前沿和同一个切点组合，这个组合必定是市场组合（market portfolio）。市场组合由现存的全部风险资产按市值权重构成，不含无风险资产。大家共同的最优 CAL 称为资本市场线。

• 截距（intercept）是 $R_f$。斜率 $\frac{E(R_M)-R_f}{{\sigma }_M}$ 是每单位总风险（标准差）的超额收益率，等于市场组合的夏普比率。
• $E(R_M)-R_f$ 是市场风险溢价（market risk premium, MRP）。把 CML 写成 $E(R_P)=R_f+[E(R_M)-R_f]({\sigma }_P/{\sigma }_M)$ 就能看出：投资者每多承担一个单位的市场风险 ${\sigma }_M$，预期收益率就增加一个 MRP。
• 横轴上的风险是标准差（总风险）。贝塔系数是证券市场线的风险度量（LOS 88.f）。
• $R_f$ 与 M 之间的点是贷出组合，一部分资金按 $R_f$ 投出。M 以外、沿直线继续向上的点是借入组合：投资者按 $R_f$ 借款，投入 M 的资金超过自有权益（equity）的 100%（保证金买入（buying on margin））。除 $R_f$ 这一点本身外，CML 上所有组合持有的都是同一个风险组合（M），所以它们的收益率彼此完全正相关（perfectly positively correlated），也都不含非系统性风险。

两基金分离（two-fund separation）。 把 CML 和投资者的无差异曲线放在一起，组合选择就拆成两个独立的决定。持有哪些风险资产，对所有人都是同一个决定：持有市场组合。承担多少风险，也就是按 $R_f$ 贷出或借入多少，取决于投资者自己的风险厌恶程度。这就是两基金分离定理（two-fund separation theorem）（也称分离定理（separation theorem））：每位投资者的最优投资组合（optimal portfolio）只由两个基金构成，即无风险资产和最优风险投资组合。证券选择因此简化为构建一个充分分散的投资组合。

被动投资与主动管理。 认为市场价格在信息上有效的投资者，采用被动投资策略（passive investment strategy）：持有指数基金作为 M 的替代，在它和无风险资产之间分配资金。认为自己能找出定价错误证券的投资者，采用主动投资组合管理（active portfolio management）：超配他们认为被低估（undervalued）的证券，低配他们认为被高估（overvalued）的证券。

LOS 88.c — 系统性风险与非系统性风险

**总风险（total risk）**用收益率（rate of return）的标准差（或方差）衡量。考试惯例：总风险 = 系统性风险 + 非系统性风险，按简单相加来表述，总风险用标准差衡量。现行做法：这个加总只对方差严格成立，如市场模型（market model）中的 ${\sigma }_i^2={\beta }_i^2{\sigma }_m^2+{\sigma }_e^2$；两部分的标准差相加并不等于总标准差。

系统性风险既适用于投资组合，也适用于单个证券。跑车、高端摩托车等奢侈品的制造商对经济周期（business cycle）反应强烈，系统性风险高。公用事业公司对全市场因素反应很小，系统性风险低。组合中随机选出的股票越多，总风险越低，并逐渐接近市场风险。一项研究认为，大约 12 至 18 只股票就能获得最大分散化收益（diversification benefit）的约 90%；另一项研究给出的数字约为 30 只。两个数字都远小于市场上的证券数量。

随着非系统性风险被分散掉，组合的表现越来越像市场，它与市场的相关性（correlation）趋向 +1。市场组合（market portfolio）是完全分散的，它的全部风险都是系统性风险。

债券。 同样的道理适用于债券组合。冲击单个发行人（issuer）的意外事件，例如评级下调，可以通过持有多家发行人的债券分散掉；而全经济范围的变化，例如衰退（recession），或利率、通货膨胀上升，会影响所有债券，无法分散。

非系统性风险为什么得不到溢价（premium）。 资本市场理论假设分散化没有成本；低成本的指数基金已经很接近这一点。投资者本可以免费消除的风险，不会有人为它付钱，所以在均衡时，预期（必要）收益率只取决于系统性风险。只有一种药的生物科技股，总风险可以非常高，系统性风险却很低，因此均衡收益率低。一家经营稳定的机床制造商，总风险不大，但对经济周期很敏感，必要收益率反而更高。由 50 或 100 只这类生物科技股构成的组合，公司特有的不确定性很少，因为成功和失败会相互抵消。一只证券的系统性风险，用它对充分分散组合的风险的贡献来衡量。

LOS 88.d — 收益生成模型与市场模型

收益生成模型根据资产对一个或多个因子的暴露来估计它的预期收益率（expected return）。因子可以是宏观经济因子（macroeconomic factor）（GDP 增长、通货膨胀、消费者信心）、基本面因子（fundamental factor）（盈利、盈利增长、公司规模、研发支出）或统计因子（statistical factor）。实践中，多数模型主要依靠宏观经济因子和基本面因子。统计因子往往缺乏金融理论依据，可能只是通过数据挖掘（data mining）（对同一组数据反复检验）找到的、某一样本（sample）期间特有的规律。

超额收益率形式的**多因子模型（multifactor model）**为：

每个 $\beta$ 是一个因子敏感度（factor sensitivity）（也称因子载荷（factor loading））。第一个因子通常是市场的超额收益率。

• Fama 和 French 模型使用三个因子：市场超额收益率、公司规模（firm size）和账面市值比（book-to-market）（账面价值与市场价值之比）。
• Carhart 加入第四个因子价格动量（price momentum），以前期收益率为基础。在模型估计所用的期间内，这四个因子能解释美国股票收益率差异的很大一部分。

单因子模型（single-factor model）只用一个因子，不论是什么因子（例如只用账面市值比，或只用盈利增长率）。以市场超额收益率为因子的单因子模型就是单指数模型（single-index model）：$E(R_i)-R_f={\beta }_i[E(R_m)-R_f]$。

市场模型（market model）是简化的单指数模型，用资产收益率对市场**收益率（rate of return）**回归来估计：

• ${\alpha }_i$ 和 ${\beta }_i$ 用历史收益率估计。预期收益率为 ${\alpha }_i+{\beta }_{i}E(R_m)$。
• 市场模型用来估计 ${\beta }_i$，并衡量异常收益率（abnormal return） $e_i=R_i-({\alpha }_i+{\beta }_i{R}_m)$：实际收益率减去在实际市场收益率下应有的预期收益率。
• 为了与单指数模型一致，可以把 ${\alpha }_i$ 设为 $R_f(1-{\beta }_i)$。

LOS 88.e — 贝塔系数的计算与解释

贝塔系数是资产收益率（rate of return）与市场收益率协方差的标准化度量，只衡量系统性风险：

• 市场的贝塔系数为 1，因为市场收益率与自身的协方差就是它的方差：$Cov(R_m,R_m)/{\sigma }_m^2=1$。所有股票的（市值加权）平均贝塔系数也是 1。贝塔系数为 0，表示资产收益率与市场的协方差为零（如果资产收益率有波动，相关性也为零）。贝塔系数也可以为负。
• 实践中，贝塔系数用资产超额收益率对市场超额收益率回归的斜率来估计。最小二乘直线使各点到直线的垂直距离平方和最小，这条线就是证券特征线（security characteristic line），斜率为 $Co{v}_{i,m}/{\sigma }_m^2$。直线比 45° 线更陡，表示 $\beta >1$：资产收益率对系统性因素的反应比市场更强。

由 CAPM 反推贝塔系数。 CAPM（LOS 88.f）的表达式为 $E(R_i)=R_f+{\beta }_i[E(R_m)-R_f]$。移项得到 ${\beta }_i=[E(R_i)-R_f]/[E(R_m)-R_f]$。如果某股票预期收益率（expected return）为 12%，$R_f=2\%$，$E(R_m)=7\%$，则 $\beta =10/5=2.0$。

LOS 88.f — 资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）、CAPM 的假设与证券市场线（security market line, SML）

只有系统性风险（systematic risk）获得定价，所以任何资产的相关风险都是它与市场的协方差（covariance）。以预期收益率（expected return）对 $Cov(R_i,R_m)$ 作图，或者先用市场方差（variance）标准化、再对贝塔系数（beta）作图，就得到证券市场线（SML）。SML 的方程就是资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）：

截距（intercept）是 $R_f$（beta 为 0），市场位于 $\beta =1$ 处，斜率是市场风险溢价（market risk premium, MRP） $E(R_m)-R_f$。市场风险溢价为正时，预期收益率随系统性风险线性上升。

CAPM 的假设

比较 CML 与 SML

两条线对应的风险度量不同，所以不存在两线“交汇”的点。均衡时，非有效组合或单只股票位于 CML 下方，但在 SML 上。任何 beta 为 1 的资产，不论总风险多大，在 SML 上都和市场处于同一点。

LOS 88.g — 用 CAPM 计算预期（必要）收益率

把输入代入 $E(R_i)=R_f+{\beta }_i[E(R_m)-R_f]$。先看清题目给的是市场预期收益率 $E(R_m)$，还是市场风险溢价（market risk premium, MRP） $E(R_m)-R_f$。

*例：*$R_f=2.5\%$，$E(R_m)=7.5\%$，$\beta =1.4$：$E(R_i)=2.5+1.4(7.5-2.5)=9.5\%$。因为 $\beta >1$，这只股票的预期收益率高于市场。

常用的变形和关系：

• 市场风险溢价：$E(R_m)-R_f=[E(R_i)-R_f]/{\beta }_i$。同一方程解出 beta 的形式见 LOS 88.e。
• 名义无风险利率$\approx$ 实际无风险利率 + 预期通货膨胀率（inflation rate）。
• 市场风险溢价为正（$E(R_m)>R_f$）时，负 beta 使必要收益率（required return）低于 $R_f$。如果 $E(R_m)<R_f$，负 beta 使必要收益率高于 $R_f$。例如 $\beta =-0.5$，$R_f=4\%$，$E(R_m)=2\%$ 时，必要收益率为 $4-0.5(-2)=5\%$。
• 其他条件不变、市场风险溢价为正时，beta 越高，必要收益率越高，投资者今天愿意付的价格就越低。市场风险溢价为负时，按 beta 的排序反过来。

LOS 88.h — CAPM 与 SML 的应用：找出定价错误的证券

均衡时，证券的预期收益率等于 SML 给出的必要收益率。分析师把自己的预测与 CAPM 必要收益率比较：

预测收益率减去必要收益率，就是该证券的预期阿尔法（alpha），也就是定价偏差的大小。如果两只被低估（undervalued）的持仓必须卖出一只，卖出 alpha 较小的那只。

*例：*$R_f=3\%$，$E(R_m)=9\%$。

• 股票 P：$\beta =0.8$，买入价 50，预测价格 53，另有 1.50 的股息（dividends）。预测收益率 $=(53-50+1.50)/50=9.0\%$；必要收益率 $=3+0.8(6)=7.8\%$。P 被低估 1.2%，位于 SML 上方。
• 股票 Q：$\beta =1.3$，预测收益率 10.0%；必要收益率 $=3+1.3(6)=10.8\%$。Q 被高估（overvalued） 0.8%，位于 SML 下方。

图形法和代数法的结论总是一致，因为 SML 就是 CAPM 方程的图形。

LOS 88.i — 夏普比率（Sharpe ratio）、特雷诺比率（Treynor measure）、M 平方（M-squared, M²）与詹森阿尔法（Jensen's alpha）

**业绩评估（performance evaluation）**分析主动管理经理所管组合的风险与收益。**归因分析（attribution analysis）**是业绩评估的一部分，查找主动组合收益率与被动基准（benchmark）收益率之间差异的来源。收益率高于基准，单凭这一点说明不了多少：风险（尤其是 beta）高于基准的组合，长期应该挣得更多，所以收益率必须经过风险调整。

• 夏普比率（Sharpe ratio）可以**事前（ex ante）使用（用预期值），也可以事后（ex post）**使用（用已实现收益率的均值和样本标准差）。它的数值只有和另一个组合的夏普比率比较才有意义。
• M² 给出的排名与夏普比率相同，但用百分比表示。因为 $M^2=S{R}_P\times {\sigma }_M+R_f$，当且仅当 P 的夏普比率高于 CML 斜率时，M² 才高于 $R_M$（M² 阿尔法 > 0）。特雷诺比率（Treynor measure）和詹森阿尔法是对应的基于 beta 的指标：特雷诺比率是斜率，詹森阿尔法是百分比。
• 用哪种风险度量，取决于组合是否承担非系统性风险。单个经理的组合或集中持仓，应该用总风险指标（夏普比率或 M²）评价。充分分散化的基金，例如分给许多经理管理的基金，可以用基于 beta 的指标（特雷诺比率或詹森阿尔法）评价。
• 位于 CML 上方的组合，夏普比率高于 CML 上的任何组合，M² 阿尔法为正。位于 SML 上方的组合，詹森阿尔法为正；如果 beta 为正，特雷诺比率还高于 SML 上的任何资产。

*例：*$R_P=11\%$，${\sigma }_P=20\%$，${\beta }_P=1.1$；$R_f=3\%$，$R_M=9\%$，${\sigma }_M=16\%$。

• 夏普比率 $=8/20=0.40$，高于 CML 斜率 $6/16=0.375$，所以按总风险衡量，P 跑赢了市场。
• M² $=3+0.40(16)=9.4\%$；M² 阿尔法 $=9.4-9.0=0.4\%$。
• 特雷诺比率 $=8/1.1=7.27\%$，市场的特雷诺比率为 6%。
• 詹森阿尔法 $=11-[3+1.1(6)]=11-9.6=1.4\%$。

*例：*两类指标对基金的排名可能不同。$R_f=3\%$，$R_M=9\%$，${\sigma }_M=16\%$。

	Return	σ	β	Sharpe ratio	M² alpha	Treynor measure	Jensen's alpha
Fund X	12%	24%	0.9	9/24 = 0.375	3 + 0.375(16) − 9 = 0.0%	9/0.9 = 10.0%	12 − [3 + 0.9(6)] = +3.6%
Fund Y	10%	14%	1.2	7/14 = 0.50	3 + 0.50(16) − 9 = +2.0%	7/1.2 = 5.8%	10 − [3 + 1.2(6)] = −0.2%
Market	9%	16%	1.0	6/16 = 0.375	0.0%	6/1.0 = 6.0%	0.0%

按总风险指标，Fund Y 胜出（夏普比率 0.50 对 0.375；M² 阿尔法 +2.0% 对 0.0%）。按基于 beta 的指标，Fund X 胜出（特雷诺比率 10.0% 对 5.8%；詹森阿尔法 +3.6% 对 −0.2%）。X 的 beta 低，标准差却高，所以它的风险大部分是非系统性风险。如果 X 是投资者的全部组合，这部分风险就要算进去，Y 更好。如果 X 只是充分分散化基金中的一小部分，它的非系统性风险被分散掉，X 更好。夏普比率和特雷诺比率的数值，要和另一个组合或市场比较着看；M² 阿尔法和詹森阿尔法可以直接看，大于零说明经风险调整后基金跑赢了市场。

在收益率对 beta 的图上，P 的特雷诺比率是从 $R_f$ 经过 P 的直线的斜率，詹森阿尔法是在 $\beta =1.1$ 处 P 与 SML 之间的垂直距离。

这些指标的输入，包括市场预期收益率（以及由此得出的市场风险溢价）和 beta，都是估计值，带有误差。市场预期收益率不一定等于它的历史平均值。模型结果的可靠程度取决于这些估计。