金融投资组合的收益与风险（The Return and Risk of a Financial Portfolio）

本章先用权重、标准差以及协方差（covariance）或相关系数，算出投资组合的预期收益率（expected return）、方差（variance）和标准差（standard deviation），并说明相关性（correlation）越低，分散化收益（diversification benefit）越大。接着推导最小方差投资组合（minimum-variance portfolio, MVP）和有效前沿（efficient frontier），把风险投资组合与无风险资产（risk-free asset）沿资本配置线（capital allocation line, CAL）组合，再根据投资者的风险厌恶（risk aversion）和无差异曲线（indifference curve）选出最优投资组合（optimal portfolio），最后延伸到资本市场线（capital market line, CML）、贝塔系数（beta）和资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）。

LOS 8.a — 投资组合预期收益率（portfolio expected return）、历史收益率与投资组合漂移

投资组合统计量为什么重要

管理投资组合，主要靠几个统计量：各持仓的预期收益率、标准差和相关性。这些数字可以是历史的（用过去已实现的收益率算出），也可以是前瞻的（用预测或模型得出）。历史数据是合理的起点，但历史太短，估计可能有偏差；预测可以把历史数据和对经济形势的判断结合起来。无论用哪种，估计值都要定期复核。

投资组合的预期收益率

投资组合的预期收益率是各资产预期收益率的加权平均数（weighted average），每项权重等于该资产市值占组合总市值的比例：

*例：*一个投资组合 30% 投资于预期收益率 5% 的基金，70% 投资于预期收益率 9% 的基金，所以 $E(R_P)=0.30(5\%)+0.70(9\%)=7.8\%$。

投资组合某一期的历史收益率（historical return），就是把同样的加权平均用在已实现收益率上：

其中 $w_{i,t-1}$ 是第 $t$ 期期初的权重。

多期收益率：算术与几何

投资组合如果不做再平衡（rebalancing），整段时期的累计收益率等于各资产累计收益率按初始权重算出的加权平均：$R_{P,T}={\sum }_i{w}_{i,0}\left[{\prod }_{t=1}^T(1+R_{i,t})-1\right]$。无论有没有漂移，表中的公式都作用于逐期的投资组合收益率 $R_{P,t}$。

投资组合漂移与风格漂移

市场波动会改变权重：涨得多的资产占比变大，表现差的占比变小。这就是投资组合漂移（portfolio drift）。不做再平衡时，每期收益率都要用新的（漂移后的）权重计算，新权重来自期初市值。

**风格漂移（style drift）**是指投资组合偏离了它所声明的策略。原因可能是投资组合漂移（权益（equity）市场走强，使平衡型组合中股票超配），也可能是持仓本身的变化（一只小盘股成长为中盘股）。投资组合漂移有时会抵消风格漂移，但基金经理仍要监控并再平衡，使组合与目标保持一致。

LOS 8.a — 投资组合的方差与标准差

投资组合方差（portfolio variance）

风险用收益率围绕均值的离散程度来衡量：即方差（variance）和它的平方根标准差（standard deviation）。标准差和收益率的单位相同，所以通常报告的风险数字是标准差。

对 $N$ 项资产，投资组合方差（portfolio variance）取决于权重、每项资产的方差以及每一对资产之间的协方差（covariance）：

两项资产时，公式变为：

协方差与相关性

协方差常常通过相关性（correlation），即相关系数（correlation coefficient）${\rho }_{1,2}$ 间接给出，其取值在 −1 到 +1 之间：

对前瞻性的（预期）数值，把相关系数和两个标准差各自的预期值相乘，得不到预期协方差，因为这三个输入值会一起变动，并且相互作用是非线性的。考试计算用上面的恒等式。

特殊情形

计算器提示

三项分别算出，相加，最后再开平方。收益率要么全程用小数（写 0.25 而不是 25），要么全程用百分数；两种混用会算错。

LOS 8.a — 相关性、分散化（diversification）与多资产投资组合

相关性决定分散化收益

改变两项资产的权重，可以画出一条可实现的风险–收益组合曲线。两项资产不完全相关时，这条曲线向左弯：从风险较高的资产移向较安全的资产，风险下降得比收益快。这就是分散化收益（diversification benefit），相关性（correlation）越低，它越大。$\rho =+1$ 时，各组合落在一条直线上；$\rho =-1$ 时，有一个配比的风险为零。

在所有可行的配比中，有效的是那些在同等风险下收益最高的组合，它们位于曲线的上半段。

更多资产：方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix）

有 $N$ 项资产时，方差-协方差矩阵的对角线上是 $N$ 个方差（variance），另外还有

所以 20 项资产需要 $(400-20)/2=190$ 个协方差（covariance）。把协方差矩阵标准化，就得到相关系数矩阵（correlation matrix），投资者可以用它找出相关性最低的资产对（最有用的分散化工具）。用相关系数表示，一般公式为

*例：*一个投资组合 40% 投资于资产 1，35% 投资于资产 2，25% 投资于资产 3，标准差（standard deviation）分别为 16%、10% 和 24%。相关系数为 ${\rho }_{1,2}=0.25$、${\rho }_{1,3}=0.60$、${\rho }_{2,3}=-0.20$。每个协方差等于 ${\rho }_{i,j}{\sigma }_i{\sigma }_j$（例如 $0.25\times 0.16\times 0.10=0.0040$），对角线上是方差：

每一对资产在矩阵中出现两次，交叉项里的系数 2 就是这么来的：

第一个括号是加权方差 $w_i^2{\sigma }_i^2$，第二个括号是各项 $2w_i{w}_j{\text{Cov}}_{i,j}$。结果远低于三项标准差的加权平均 15.9%，因为每个相关系数都低于 +1。

用情景计算预期投资组合方差

前瞻性的方差可以用经济情景 $m$ 来构建，各情景概率 $p_m$ 之和为 1：

1. 每个情景下的组合收益率：$R_{P,m}={\sum }_i{w}_i{R}_{i,m}$。
2. 组合预期收益率（expected return）：$E(R_P)={\sum }_m{p}_m{R}_{P,m}$，它等于各资产预期收益率的加权平均 ${\sum }_i{w}_{i}E(R_i)$。
3. 预期方差：${\sigma }_P^2={\sum }_m{p}_m{\left[R_{P,m}-E(R_P)\right]}^2$，再开平方。

*例：*两个情景概率相同，组合收益率分别为 12% 和 2%。则 $E(R_P)=7\%$，${\sigma }_P^2=0.5(5{)}^2+0.5(-5{)}^2=25$（单位为 %²），所以 ${\sigma }_P=5\%$。

大型投资组合：方差趋近于平均协方差

由 $N$ 项资产组成的**等权重（equally weighted）**组合，其方差的精确值为

其中 ${\bar{\sigma }}^2$ 是平均方差，$\overline{\text{Cov}}$ 是两两之间的平均协方差。$N$ 越大，单项资产自身方差的影响越小，组合方差趋近于平均协方差（average covariance）。对大型组合，近似公式把它写成平均相关系数（average correlation）乘以平均方差（average variance）：

• 考试惯例：对等权重组合，更精确的方差为 ${\sigma }_P^2={\bar{\sigma }}^2/N+(1-1/N)\bar{\rho }{\bar{\sigma }}^2$，$\bar{\rho }{\bar{\sigma }}^2$ 是它在 $N$ 很大时的近似。
• 现行做法：上面这个更精确的式子，只有在所有资产方差相同时才是精确的，因为只有这时 $\bar{\rho }{\bar{\sigma }}^2$ 才等于平均协方差。一般情况下，精确方差是 ${\bar{\sigma }}^2/N+(N-1)/N$ 乘以平均协方差，即上式。

方差不相等时，差距可能很大。例如两项资产标准差分别为 10% 和 30%，相关系数 0.5，协方差为 0.015，但 $\bar{\rho }{\bar{\sigma }}^2=0.5\times 0.05=0.025$。 *例：*40 项资产，平均方差 0.05，平均相关系数 0.25，则 ${\sigma }_P^2\approx 0.25\times 0.05=0.0125$，${\sigma }_P\approx 11.2\%$。如果 40 项资产的方差都是 0.05，有限 $N$ 项会再加上 $0.75\times 0.05/40=0.0009$，得到 0.0134（11.6%）。

系统性风险与非系统性风险

大约 20 到 30 项精心挑选的资产，就能获得大部分分散化收益；超过约 30 项后，每增加一项持仓带来的额外分散化收益接近零，剩下的是系统性风险（systematic risk）。

LOS 8.b — 最小方差投资组合（minimum-variance portfolio, MVP）与有效前沿（efficient frontier）

可行集、最小方差前沿与有效前沿

可投资的风险资产按任意比例组合，得到的都是风险投资组合（risky portfolio）；它们合在一起构成可行（可实现）投资组合的集合。

• **最小方差前沿（minimum-variance frontier）**是在每一预期收益率（expected return）水平上风险最低的组合的集合，是可行集的左边界。
• **全球最小方差投资组合（global minimum-variance portfolio, GMVP）**是这条前沿上风险最低的那一点。
• 有效前沿是在任一风险水平上预期收益率最高的组合的集合。在图上，它是最小方差前沿的上半段，从 GMVP 开始向上延伸。下半段是无效的：另一个组合在同样风险下收益更高。
• 最小方差前沿左边的点（包括有效前沿上方的所有点），用现有资产无法实现（unattainable）。有效前沿下方的可实现点是无效的（inefficient）。

在包含全部可投资资产的理论资产范围内，这条上半段称为马科维茨有效前沿（Markowitz efficient frontier）。

两项风险资产的最小方差投资组合

两项权重都为正、其他输入不变时，一项资产的方差（variance）越高，它在 MVP 中的权重越低；方差越低，权重越高。

*例：*${\sigma }_A=15\%$，${\sigma }_B=25\%$，$\rho =0.20$，则 $\text{Cov}=0.20(0.15)(0.25)=0.0075$。

风险较低的资产权重较大。公式里没有预期收益率。

加入无风险资产

无风险资产（risk-free asset）的收益率方差为零。考试惯例：无风险资产与任何风险资产的相关性（correlation）都为零。现行做法：无风险资产的收益率从不变动，它与任何资产的协方差（covariance）都为零，严格来说相关系数（correlation coefficient）没有定义。无论按哪种说法，投资组合方差（portfolio variance）中的协方差项都会消失。从无风险利率（risk-free rate）出发、恰好与有效前沿（efficient frontier）相切的直线，确定了最优风险投资组合（optimal risky portfolio），也叫切点组合（tangency portfolio）：即**夏普比率（Sharpe ratio）**最高的有效组合，

把无风险资产与风险组合 $P$ 组合在一起：

要达到目标收益率，解出风险资产的权重：

*例：*$R_f=4\%$，风险组合的预期收益率为 12%、标准差（standard deviation）为 20%，目标收益率为 10%，则 $w_P=6/8=0.75$，${\sigma }_C=0.75\times 20\%=15\%$。权重在 0 到 100% 之间，表示以无风险利率贷出资金；风险资产权重超过 100%，表示以无风险利率借入资金。

投资组合优化

主要输入值是预期收益率、波动率（volatility）（标准差）和资产间的相关性。投资者自身的因素（风险承受能力（risk tolerance）、投资期限（time horizon）、现金需求）以及不得卖空、持仓上限等约束，会让权重偏离无约束时的最优解。

LOS 8.c — 风险厌恶（risk aversion）、效用与无差异曲线（indifference curve）

最优投资组合（optimal portfolio）选择的假设

• 投资者是理性的、**风险厌恶型（risk averse）**的；他们追求满足感（效用（utility））最大化，偏好更高的收益和更低的风险。
• 单期投资期限（time horizon）。
• 没有税收和交易成本。
• 投资者可以按固定的**无风险利率（risk-free rate）**借入和贷出资金。

对待风险的三种态度

公平赌局（fair gamble）（预期收益为零）会提高风险偏好型（risk seeking）投资者的预期效用，风险中性（risk neutral）投资者觉得无所谓，风险厌恶型投资者的效用则会下降。现实中多数投资者是风险厌恶型的；风险中性是一个有用的理论情形（例如大型机构做大量小额交易，各笔交易的波动在汇总后被分散掉）。

效用函数

常用的**效用函数（utility function）**为

其中 $A$ 是投资者的风险厌恶系数（coefficient of risk aversion），${\sigma }^2$ 是收益率的方差（variance）（用小数）。$A$ 越高，风险对效用的扣减越大。投资组合理论假设所有投资者都是风险厌恶型的（$A>0$）。研究表明，$A$ 通常在 2 到 3 之间，很少低于 1。均值-方差效用（mean-variance utility） $U_P=U[E(R_P),{\sigma }_P]$ 只取决于预期收益率和风险，不考虑总财富等其他因素。

*例：*$A=4$，预期收益率 10%，标准差（standard deviation）15%，则 $U=0.10-0.5(4)(0.0225)=0.055$，即 5.5%。对这位投资者来说，这个组合和确定的 5.5% 收益率一样好。

**风险承受能力（risk tolerance）**是为获得更高预期收益率而接受风险的意愿；它是风险厌恶的反面，会随年龄、财富和经济状况变化，也因国家和文化而异。**绝对风险厌恶（absolute risk aversion）**看的是财富不变时，效用如何随额外风险变化；**相对风险厌恶（relative risk aversion）**看的是财富变化时，投入风险资产的财富比例如何变化。

无差异曲线

无差异曲线画出给投资者带来相同预期效用的各种风险–收益组合。风险厌恶型投资者的无差异曲线向上倾斜，且是凸的；越靠左上方的曲线，效用越高。曲线的斜率表示每多承担一单位风险需要多少额外收益：

• 风险厌恶程度越高（风险承受能力越低）的投资者，曲线越陡。
• 风险厌恶程度越低（风险承受能力越高）的投资者，曲线越平。

LOS 8.c — 资本配置线、最优投资组合（optimal portfolio）与资本市场线

资本配置线（capital allocation line, CAL）

把一个风险投资组合与无风险资产（risk-free asset）组合起来（假设无风险资产没有风险，风险组合的收益和风险都高于无风险利率（risk-free rate），只有这两项资产可选，并且可以按无风险利率无限制地借入和贷出），在风险–收益空间里得到一条直线：

这就是该风险组合的资本配置线（CAL）。它从纵轴上的无风险利率出发，斜率等于风险组合的夏普比率（Sharpe ratio）。位于截距（intercept）和风险组合之间的点意味着贷出资金（无风险资产权重为正）；超过风险组合的点意味着借入资金。

*例：*设 $R_f=3\%$；切点组合（tangency portfolio）的预期收益率（expected return）为 10.2%，标准差（standard deviation）为 18%（夏普比率 $=7.2/18=0.40$）。一位客户把 40% 投在风险组合上，则 $E(R)=0.40(10.2\%)+0.60(3\%)=5.88\%$，$\sigma =0.40(18\%)=7.2\%$；用 CAL 验算：$3\%+0.40(7.2\%)=5.88\%$。另一位客户以 3% 借入相当于自身财富 30% 的资金，把 130% 投在风险组合上，则 $E(R)=1.30(10.2\%)-0.30(3\%)=12.36\%$，$\sigma =1.30(18\%)=23.4\%$；验算：$3\%+0.40(23.4\%)=12.36\%$。两个组合在同一条直线上。

选择最优投资组合

投资者的最优投资组合是 CAL 与所能达到的最高无差异曲线（indifference curve）的切点。更高的曲线更好，但达不到；更低的曲线处于劣势。

图中，风险厌恶程度较高的投资者 A（无差异曲线较陡）在标准差 10% 处达到能触及的最高曲线（约 56% 投在风险组合上，其余以无风险利率贷出）。风险厌恶程度较低的投资者 B（曲线较平）选择 25%（约 139% 投在风险组合上，部分资金靠借入）。两个点都在同一条 CAL 上：风险厌恶（risk aversion）程度改变的是投资者在线上的位置，直线的斜率不变。

资本市场线（capital market line, CML）

资本市场线（CML）是一条特殊的 CAL，其风险组合是市场组合（market portfolio），即按市值加权持有全部风险资产的组合：

市场组合位于有效前沿（efficient frontier）上，是均值-方差有效的（mean-variance efficient）（夏普比率达到最高）。共同基金定理（mutual fund theorem）指出：每位投资者都可以把无风险资产和市场组合结合起来，得到一个有效组合；投资者之间的区别只在于两者各持有多少。

实务中无法持有“全部风险资产”的组合，所以用一个宽基市场指数作为替代。

LOS 8.c — 系统性风险、贝塔系数与资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）

只有系统性风险才有定价

市场组合（market portfolio）包含全部风险资产，组合内部的非系统性风险（unsystematic risk）已经全部分散掉，只剩下系统性风险（systematic risk）（见模块 8.3）。非系统性风险可以无成本地消除，所以市场只对承担系统性风险给予补偿，CAPM 就是据此为资产定价。

收益生成模型与 CAPM

**收益生成模型（return-generating model）**用一个或多个因子估计预期收益率（expected return），因子可以是宏观经济因子（如国内生产总值（gross domestic product, GDP）增长或通货膨胀（inflation）），也可以是基本面因子（如盈利增长或公司规模）。CAPM 是单因子模型（single-factor model）：预期收益率只取决于对系统性风险的暴露。

CAPM 假设：同质预期（homogeneous expectations）；投资者持有使预期效用最大化的有效组合；投资者是价格接受者（price takers）；市场处于**均衡（equilibrium）**状态（没有定价错误的资产）。

$E(R_M)-R_f$ 是市场风险溢价（market risk premium, MRP），即持有市场组合而不是无风险资产（risk-free asset）所预期获得的额外收益。

贝塔系数

**贝塔系数（beta）**衡量资产对市场（系统性）风险的敏感度：

市场组合的贝塔系数为 1。

• 考试惯例：贝塔系数大于 1，表示预期收益率高于市场；小于 1，表示预期收益率低于市场。
• 现行做法：只有市场风险溢价为正时才是这样；溢价为负时，高低顺序反过来。

贝塔系数可以用回归估计（见一元线性回归（simple linear regression）一章）。

*例：*${\rho }_{i,M}=0.5$，${\sigma }_i=36\%$，${\sigma }_M=20\%$，则 $\beta =0.5\times 36/20=0.90$。像这只股票一样，波动几乎是市场的两倍，只要与市场的相关性（correlation）低，贝塔系数仍然可以小于 1。

证券市场线（security market line, SML）

SML 是 CAPM 的图形：纵轴是预期收益率，横轴是贝塔系数，截距（intercept）为 $R_f$，斜率等于市场风险溢价。

*例（取自图中）：*$R_f=3\%$，$E(R_M)=9\%$，$\beta =1.5$，则 $E(R)=3\%+1.5(6\%)=12\%$。

投资组合理论的局限

资产收益率并不服从正态分布（存在偏度（skewness）和峰度（kurtosis））；相关性不稳定，市场承压时尤其如此；市场并非完全有效；模型对估计误差非常敏感；未来不一定像过去。理论忽略的实际约束包括再平衡（rebalancing）带来的交易成本和税收。不同组合的分配收入和资本增值适用的税负不同，可能改变最优投资组合（optimal portfolio）；实现资本损失来抵消资本利得，也会改变税后、经风险调整的已实现收益率。