数量方法 · 第 9 章

金融资产价格与收益率的模拟（Simulation of Financial Asset Prices and Returns）

CFA 一级 · 数量方法 · 第 9 章 · 约 45 分钟

数量方法中文讲义（PDF）153 页 · 5.3 MB · 免费，无需注册 · 全部 PDF

本章学习目标

LOS 9.a 描述历史模拟及其假设、优点和缺点，以及它在投资中的应用，例如 VaR 和债券组合。
LOS 9.b 描述自助重抽样（有放回抽样）及其优点、缺点和投资应用。
LOS 9.c 描述蒙特卡洛模拟，包括用 Cholesky 分解（Cholesky decomposition）做多变量模拟，以及它的优点、缺点和投资应用。

模块 9.1

历史模拟（Historical Simulation）

本章介绍模拟资产价格和收益率的三种方法：历史模拟（historical simulation），把过去实际发生的变动套用到当前头寸上；自助重抽样（bootstrap resampling），从观测样本（sample）中有放回地抽取；蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation），从分析师设定的分布中抽取。每种方法都讲它的假设、投资应用（如风险价值（value at risk, VaR）和期权（option）估值）以及主要优缺点。

LOS 9.a — 历史模拟

模拟做什么

核心概念

**模拟（simulation）**是一种预测建模方法。它让一个复杂系统跑过大量情景，估计可能结果的分布范围，例如组合的收益率分布、组合风险、未来现金流和流动性（liquidity）。所有模拟都按同样的四步走：

设定参数：明确目标，选定输出变量，确定从输入到输出的计算关系。
生成情景：为每次试验生成输入值（可以很简单，也可以从复杂分布中抽取）。
评估情景：把每个情景送入计算引擎，得到结果路径。
汇总和解读结果：把结果汇总（例如汇总成一个分布），得出结论。

历史模拟（本模块）、自助重抽样（模块 9.2）和蒙特卡洛模拟（模块 9.3）的主要区别在第 2 步，也就是情景从哪里来。

历史模拟

历史模拟把价格、收益率或风险因子过去的实际变动套用到当前的组合头寸上。它假设过去的数据能代表未来：过去的表现可以可靠地指引未来的结果和风险，历史记录代替了结果的总体（population）。设定参数时，选定的日期和风险因子可能要做一些简化假设，让所有收益率覆盖相同的时间段。权益（equity）类输入通常用对数（连续复利）价格收益率，用百分比收益率也可以；债券则用模拟出的收益率作为未来现金流的折现率（discount rate）。

核心概念

优点	缺点
容易解释：可以围绕真实的历史事件讲清楚	假设过去会重演；遇到结构性变化（regime changes）或前所未有的事件时效果差
非参数（nonparametric）：不必把数据硬套进正态分布（normal distribution）之类的分布；能处理超额峰度（excess kurtosis）、偏度（skewness）和厚尾（fat tails），比参数模型更能捕捉极端事件和漂移	只能产生回溯期内实际发生过的结果
能捕捉波动率聚集（volatility clustering）（平静期和动荡期往往会持续）	结果取决于数据的质量和完整性

缺失数据和代理变量

历史记录出现缺口的原因有：交易清淡的品种，全球市场不同步（假日、系统故障、停牌），以及部分时期内证券还不存在（例如刚完成首次公开发行（initial public offering, IPO）的股票）。解决办法是用代理变量（proxy）：用一个替代品种，或几个有数据的品种的加权组合，来代替缺失的观测值。

应用：风险价值（VaR）

核心概念

VaR 是在指定期间内，最差 5%（或 1%）的结果中预期的最小损失。也可以说，它是对应置信水平（95% 或 99%）下的最大潜在损失；尾部仍会出现更大的损失。对只做多的组合用历史模拟计算 VaR：

设定参数：算出回溯期内每项资产的日收益率（通常用对数收益率）。
生成情景：把每一天的收益率套用到今天的头寸上，每个历史交易日得到一个损益（profit or loss, P&L）数字。
评估情景：构建 P&L 分布（例如画直方图）。
汇总和解读：把 P&L 从最差到最好排序；95% VaR 就是分布的第五百分位数（percentile）。如果这个百分位数落在两个观测值之间，取其中任一个或二者的加权平均都可以。

*例（历史 VaR 与参数 VaR 对比）：*一个 $4 million 的股票组合，用过去 500 个交易日的收益率情景逐一重新估值。500 个结果的 5% 是 25 个，所以第五百分位数落在第 25 差的 P&L（−$118,000）和第 26 差的 P&L（−$114,000）之间。1 天 95% 历史 VaR 约为 $116,000（两个相邻值的平均；取其中任一个也可以）。如果用参数法，假设收益率服从正态分布，日均值为零，日标准差（standard deviation）为 1.5%，得到 $1.645 \times 0.015 \times $4, 000, 000 = $98, 700$ 。历史 VaR 更大，因为实际收益率分布的左尾比正态分布更厚。

VaR 只看损失尾部，所以少数几次大额收益对它几乎没有影响。算日 VaR 时，分析师通常假设平均收益率为零：日漂移在统计上很难与零区分开（即无方向性变动的原假设（null hypothesis, H0）），而且日波动远远大于任何趋势。

应用：债券

债券自己的历史价格会误导分析，因为它对利率的敏感度（久期（duration））随着临近到期日（maturity）不断缩短：五年前买入的 10 年期零息债券（zero-coupon bond），现在的表现像一只 5 年期债券。所以债券的历史模拟用收益率的历史变动（例如相同剩余期限的基准（benchmark）收益率），把它套用到今天的现金流上。要模拟一只还有三年到期的债券，就用当时剩余期限为三年的债券上观测到的收益率变动。

常见考试陷阱

历史模拟假设过去的数据能代表未来。用统计模型拟合总体是蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation），有放回地重抽样是自助法。
历史 95% VaR 是模拟 P&L 分布的第五百分位数（500 个结果中大约第 25 差的那个），不是唯一最差的那个结果。
代理变量用来填补缺失数据；它不是风险因子，也不是假设情景。

答题技巧

有 $N$ 个历史情景时，95% VaR 落在第 $(0.05 N)$ 差的 P&L 和排在它后面的下一个 P&L 之间，只需找出这两个结果（取其中任一个或二者的加权平均都可以）。

本节要点

所有模拟都要设定参数、生成情景、评估情景、汇总结果；历史模拟、自助法和蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）的主要区别在于情景从哪里来。
历史模拟把价格、收益率或风险因子过去的实际变动套用到当前组合头寸上，假设过去的数据能代表未来。
历史模拟是非参数方法，能捕捉偏度（skewness）、超额峰度（excess kurtosis）、厚尾（fat tails）和波动率聚集；但它只能产生回溯期内的结果，遇到结构性变化或前所未有的事件时效果差。
缺失的历史数据用代理变量填补，即一个替代品种，或几个有数据的品种的加权组合。
VaR 是指定期间内最差 5%（或 1%）结果中的最小损失；95% 历史 VaR 是模拟 P&L 分布的第五百分位数，日 VaR 通常假设平均收益率为零。
债券的久期（duration）随着临近到期日（maturity）不断缩短，所以债券的历史模拟不用债券自己的历史价格，而是把相同剩余期限的历史收益率变动套用到今天的现金流上。

随堂小测

第 1 题核心

Which of the following is most likely an advantage of historical simulation compared with a parametric approach that assumes normally distributed returns?

查看答案和解析

正确答案： B

历史模拟是非参数方法：它用过去的实际变动，所以情景自然带有数据中的厚尾（fat tails）、偏度（skewness）和波动率聚集。正态分布模型往往低估极端结果。

其他选项为什么错

A. 依赖过去正是历史模拟的主要缺点；出现结构性变化后，过去的数据可能不再代表未来。
C. 历史模拟只能重现回溯期内实际发生过的结果；模拟从未出现过的情况是蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）的优点。

本题要点历史模拟是非参数方法，能捕捉厚尾和波动率聚集，也容易解释；它的局限是只能重放实际发生过的事。

模块 9.2

自助重抽样（Bootstrap Resampling）

LOS 9.b — 自助重抽样

自助法怎么做

核心概念

自助重抽样（bootstrap resampling）（又称自助法（bootstrapping））是一种非参数（nonparametric）模拟方法。它把观测到的历史样本（sample）当作总体（population）的代理（proxy），从中有放回地（with replacement）随机抽取观测值，生成大量新数据集：每个观测值抽出、使用后放回，下次还可能被抽到。这样抽取一个随机值叫作抽取（pulling）。

数据集有 $n$ 个观测值时，每次抽取中每个观测值被选中的概率都是 $1/ n$ 。
在一个情景内，同一个观测值被抽中的次数最多等于该情景的抽取次数。
在不同情景之间，同一个观测值可以出现在很多样本中（也可能一个都不出现）。

*例：*要用 60 个历史月收益率模拟一条 6 个月的路径，就在 1 到 60 之间抽六个随机整数，查出对应的收益率。任何一个月份在每次抽取中被抽中的机会都是 1/60，理论上它最多可以在同一条路径中出现六次（虽然可能性很小）。重复几千次。

Flow diagram: an observed sample of n values, treated as the population, feeds resamples 1, 2 to B, each of n draws with replacement (every observation has probability 1/n on each draw). Each resample gives a statistic such as a mean or median, and the distribution of the B statistics gives the standard error. — How bootstrap resampling builds a sampling distribution

自助法与历史模拟（historical simulation）的区别

两种方法对待数据的方式不同。历史模拟把过去的数据集当作总体直接重放，所以每个情景都是实际发生过的一串事件。自助法把观测样本当作总体的代理，通过有放回的重抽样，用过去的观测值拼出新的组合。模块 9.3 把三种模拟方法放在一起比较。

自助法不需要理论模型。每次重抽样得到所关心统计量（比如均值）的一个值，几千次重抽样就近似描出这个统计量的抽样分布（sampling distribution），即使原始数据集很小也可以。看这个分布的离散程度，就能判断估计值是否稳定。反复重抽样比历史模拟多花一些计算量。自助法保留了数据的经验分布，只是把它重新打乱，所以能降低对某一段特定历史序列过拟合（overfitting）的风险。总体分布未知、但可以从样本推断时，适合用自助法解决金融问题。

应用

欧式看涨期权（European-style call option）到期时的价值。欧式看涨期权只能在到期日（maturity）行权，只有标的资产（underlying）价格最终高于行权价（exercise price）时才有价值，所以目标是期权（option）到期时的价值。对历史收益率重抽样，构建投资期内的大量价格路径，算出每条路径终点的期权收益，再研究得到的分布及其均值。这样就避开了理论期权定价模型中波动率不变和正态分布的假设。期权有杠杆（leverage），下跌损失有限，所以期权价值的分布可能比股价分布更偏斜。得到的是历史（真实世界）收益率下到期收益的分布。它本身不是期权当前的无套利（no-arbitrage）价格：把真实世界下的平均收益按无风险利率（risk-free rate）折现，得不到这个价格（模块 9.3 列出了蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）定价的条件）。
估计目标日期基金（target date fund）的波动率（这类基金随着退休日期临近，逐步转向风险较低的资产）：对月收益率做自助重抽样，算出每条模拟序列的标准差（standard deviation），比较各基金的波动率区间，判断哪只基金更激进。

优点和缺点

核心概念

优点	缺点
假设最少：不必设定正态分布之类的分布	对样本质量敏感：原始样本中的任何偏差都会带进每个重抽样样本
实现起来简单	大数据集上做几千次重抽样，计算量大
统计上稳健：即使样本很小，也能可靠地估计统计量的变异程度	没有解析层面的解释：只给估计值，不给理论解释
标准误和置信区间可靠，受异常值（outliers）影响小	外推能力有限：不能生成观测数据范围之外的结果（对极端尾部事件效果差）
适用于多种统计量（均值、中位数（median）、相关性（correlation））	不适合自相关的时间序列（time series）：随机重抽样会打断数据在时间顺序上的依赖关系
用手头的样本就能做，不需要大型外部数据集

数据表现出时变波动率、偏度（skewness）或厚尾（fat tails），难以用参数方法建模，而且预期历史规律会延续时，自助法很有用。它是对解析方法的补充，解析方法能更详细地解释背后的关系。

常见考试陷阱

自助法不对分布做任何假设；需要设定分布的是蒙特卡洛模拟。

本节要点

自助法是非参数方法，把手头的样本当作总体（population）的代理，从中有放回地随机抽取，构建新数据集，所以 $n$ 个观测值中每一个在每次抽取中被选中的概率都是 $1/ n$ 。
在自助法中，同一个观测值可以在一个情景内被抽中多次，也可以出现在很多样本（sample）中，或一个都不出现。
历史模拟把过去的数据集当作总体（population）重放；自助法用过去的观测值拼出新的组合，降低了对某一段历史序列过拟合的风险。
自助法可以给出历史收益率下欧式看涨期权到期收益的分布，但这本身不是期权当前的无套利价格；它也可以估计目标日期基金的波动率。
自助法需要的假设最少，样本（sample）小也能用；但它会把原始样本中的偏差带进每个重抽样样本，不能生成观测范围之外的结果，也不适合自相关的时间序列（time series）。

随堂小测

第 2 题核心

An analyst builds each bootstrap scenario for an eight-quarter horizon by drawing from a dataset of 40 historical quarterly returns. Within a single scenario, any one historical observation can be drawn:

查看答案和解析

正确答案： A

自助法是有放回抽样：每次抽取后，观测值放回数据集。八个季度的情景需要抽八次，所以理论上同一个观测值每次都可能被抽中，不过每次只有 1/40 的机会，这种情况极不可能发生。

每个情景由 8 次抽取组成，每次在 1 到 40 之间抽一个随机整数，对应一个历史季度收益率。某个观测值在任何一次抽取中被选中的概率是 $1/40$ ，它在一个情景中最多出现的次数等于抽取次数，即 8 次。

其他选项为什么错

B. “Only once”描述的是无放回抽样。自助重抽样每次都把观测值放回，所以可以重复。
C. 40 是数据集的大小；八个季度的情景只包含八次抽取。

本题要点有放回抽样：可以重复，上限是该情景的抽取次数。

模块 9.3

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）

LOS 9.c — 蒙特卡洛模拟

方法

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）生成情景的方式，是从分析师设定的概率分布（probability distribution）中随机抽样（可以是正态分布（normal distribution）、对数正态分布（lognormal distribution），或任何形状、任何参数的分布），而不是从原始历史观测值中抽取。跑几千次试验，得到价格或收益率的模拟频率分布（simulated frequency distribution），再从中估计风险和业绩指标。试验次数在可行范围内越多越好：次数越多，估计越精确，而试验次数基本上只受计算能力和时间的限制。输入假设由分析师控制，所以可以检验输出对每个假设的敏感度（“假如……会怎样”（"what if"）分析）。

应用

组合业绩：在给定置信水平下，估计未来一段期间的预期收益率（expected return）和标准差（standard deviation）。
为没有解析（闭式）定价公式的证券估值，例如路径依赖期权（path-dependent option）（如亚式期权（Asian-style options），收益取决于平均价格）、抵押贷款支持证券（mortgage-backed securities, MBS）（借款人的提前还款权相当于一个嵌入式看涨期权）和可转换债券（convertible bonds）。
欧式看涨期权（European call options）。
- 考试惯例：欧式看涨期权的蒙特卡洛估值应与 Black-Scholes-Merton 模型的估值一致，试验次数越多越接近。
- 现行做法：只有模拟的价格动态符合 Black-Scholes-Merton 的假设时，这一点才成立：价格服从对数正态分布，波动率不变，而且定价时预期收益率等于无风险利率（risk-free rate）减去股息收益率（dividend yield）（风险中性定价（risk-neutral valuation））。这时按无风险利率折现的平均收益，会随试验次数增加收敛到 Black-Scholes-Merton 估值。只假设对数正态分布还不够：用真实世界的预期收益率模拟，再按无风险利率折现，得不到这个值。

期权估值的步骤：（1）设定期限、无风险利率、价格分布（例如对数正态分布）、波动率和预期收益率；（2）抽随机数，生成价格路径；（3）跑几千次试验，算出每条路径上的期权（option）收益；（4）把收益取平均，按无风险利率折现。

多变量模拟与 Cholesky 分解

几个变量一起变动时（一个组合，或一份基于多项资产的期权），模拟的输入必须有正确的相关性（correlation）。在常用的对数正态价格模型下，假设各资产的对数收益率服从联合正态分布，输入是每项资产的波动率和收益率之间的相关系数。Cholesky 分解（Cholesky decomposition）把协方差矩阵（或相关系数矩阵）分解，把相互独立的标准正态抽样值转换成相关的正态变量，再用这些变量生成模拟路径。两个变量、独立抽样值为 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ （均值 0，标准差 1）时：

核心概念

X_{1} = σ_{1} Z_{1}, X_{2} = σ_{2} (ρ Z_{1} + 1 - ρ^{2} Z_{2})

*例：*设 $σ_{1} = 10%$ ， $σ_{2} = 15%$ ， $ρ = 0.8$ ，抽样值 $Z_{1} = 0.5$ 、 $Z_{2} = 1.0$ ，则 $X_{1} = 5%$ ； $X_{2} = 15% (0.8 \times 0.5 + 0.6 \times 1.0) = 15%$ 。

优点和缺点

核心概念

优点	缺点
适用范围广：资产、风险因子、组合；非线性关系、时变波动率、厚尾（fat tails）	复杂：需要建模专长，搭建耗时
能灵活处理非正态分布（偏度（skewness）、超额峰度（excess kurtosis））	依赖模型：结果的好坏取决于假设的分布和参数
试验次数足够时精确	计算量大：实时使用时又慢又贵
能处理多项资产之间的相关性	数据要求高：估计波动率、相关系数等参数需要大量数据
前瞻性：能模拟历史上从未出现过的假设情况或极端情况	给出的是统计估计值，不是精确答案，也给不出解析方法那样的洞察（因果关系）

蒙特卡洛模拟通常和解析方法配合使用。没有解析方法可用时，它本身就可以作为估值工具，再通过改变假设、重新运行来检验结果是否稳健。

三种方法的比较

核心概念

特征	历史模拟（historical simulation）	自助法（bootstrapping）	蒙特卡洛模拟
数据来源	历史数据集	观测样本（sample）	假设（建模）的分布
抽样方式	直接取自历史	有放回重抽样	从设定的分布中随机抽取
假设	过去的数据代表未来	样本代表总体（population）	生成结果的过程可以用统计方法建模
典型用途	风险管理（risk management）、压力测试（stress testing）	置信区间、标准误	复杂系统、长期结果
灵活性	局限于历史规律	受样本大小限制	非常灵活，可做假设情景
捕捉的不确定性	只有历史上观测到的	重抽样带来的变异	来自建模输入的假设不确定性
计算量	低到中等	中等	高

常见考试陷阱

Cholesky 分解（Cholesky decomposition）根据假设的相关系数生成相关的路径；它不估计相关系数或协方差。

答题技巧

看情景从哪里来就能判断方法：用过去的实际变动是历史模拟（historical simulation），从观测样本（sample）中有放回地重抽样是自助法，从假设的分布中随机抽取是蒙特卡洛模拟。

本节要点

蒙特卡洛模拟从分析师设定的概率分布中抽取情景，跑几千次试验构建模拟频率分布；试验次数越多，估计越精确。
蒙特卡洛模拟用来估计组合业绩，也用来为没有闭式定价公式的证券估值，例如亚式期权、抵押贷款支持证券（mortgage-backed securities, MBS）和可转换债券（convertible bonds）。
考试惯例：欧式看涨期权的蒙特卡洛估值应与 Black-Scholes-Merton 估值一致，试验次数越多越接近；现行做法：只有模拟价格服从对数正态分布（lognormal distribution）、波动率不变、预期收益率为风险中性收益率，并且平均收益按无风险利率折现时，这一点才成立。
Cholesky 分解（Cholesky decomposition）用假设的相关系数，把相互独立的标准正态抽样值转换成相关的正态变量；它不估计相关系数或协方差。
蒙特卡洛模拟灵活、有前瞻性，能处理非正态分布和相关性；但它复杂、依赖模型、计算量大、需要大量数据，给出的是统计估计值，没有解析方法那样的因果洞察。
历史模拟（historical simulation）假设过去的数据代表未来，自助法假设样本代表总体（population），蒙特卡洛模拟假设生成结果的过程可以用统计方法建模。

随堂小测

第 3 题核心

Compared with historical simulation and bootstrap resampling, an advantage of Monte Carlo simulation is that it:

查看答案和解析

正确答案： C

蒙特卡洛模拟的情景由分析师选定的分布生成，所以它可以模拟历史记录中从未出现过的假设情况或极端情况。历史模拟（historical simulation）和自助法只能重复使用实际发生过的事。

其他选项为什么错

A. 蒙特卡洛模拟通常对数据要求很高，因为要估计波动率、相关系数和其他参数。
B. 与重放或重抽样实际历史的方法相比，蒙特卡洛模型更复杂，也更难向别人解释。

本题要点蒙特卡洛模拟有前瞻性：能为历史上没有先例的情景建模。

本章题库共 16 道题。去题库全部练习。

本章要点

历史模拟是非参数方法，能捕捉厚尾和波动率聚集，也容易解释；它的局限是只能重放实际发生过的事。
有放回抽样：可以重复，上限是该情景的抽取次数。
蒙特卡洛模拟有前瞻性：能为历史上没有先例的情景建模。