衍生品 · 第 79 章

用单期二叉树模型为衍生品估值（Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model）

CFA 一级 · 衍生品 · 第 79 章 · 约 20 分钟

衍生品中文讲义（PDF）64 页 · 2.9 MB · 免费，无需注册 · 全部 PDF

本章学习目标

LOS 79.a 用单期二叉树模型为看涨期权（call）或看跌期权（put）估值：按对冲比率（hedge ratio）把期权和标的资产（underlying）组合成对冲（无风险）组合。
LOS 79.b 描述风险中性（risk neutrality）：期权价值等于按风险中性概率（risk-neutral probability）计算的预期收益，再用无风险利率（risk-free rate）折现。

模块 79.1

期权价值的二叉树模型（Binomial Model for Option Values）

本章用单期二叉树模型给期权（option）估值，先用无风险对冲组合，再用风险中性定价（risk-neutral valuation）。考生要会算对冲比率（hedge ratio），并用它给看涨期权（call option）或看跌期权（put option）估值；会算风险中性概率；能解释为什么期权价值与投资者的风险偏好无关。

LOS 79.a — 单期二叉树模型：对冲法，也叫复制（replication）法

**二叉树模型（binomial model）**假设标的资产（underlying）在一期内只会变成两个价值中的一个。给这种标的资产上的期权估值，需要：

标的资产今天的价值 $S_{0}$ ；
期权的行权价（exercise price） $X$ （期权在期末到期）；
涨跌的幅度：上涨收益因子 $R^{u} = S_{1}^{u} / S_{0}$ 和下跌收益因子 $R^{d} = S_{1}^{d} / S_{0}$ （它们反映标的资产的波动率）；
这一期的无风险利率（risk-free rate）。

估值既不需要上涨或下跌的真实概率，也不需要经风险调整的折现率（discount rate）。

看涨期权：买入 $h$ 股，卖出一份看涨期权

选择股数 $h$ ，使组合在上涨和下跌之后价值相同（ $V_{1}^{u} = V_{1}^{d}$ ）：

核心概念

h S_{1}^{u} - c_{1}^{u} = h S_{1}^{d} - c_{1}^{d} \Rightarrow h = \frac{c _{1}^{u} - c _{1}^{d}}{S _{1}^{u} - S _{1}^{d}}

$h$ 就是对冲比率，即每卖出一份期权要持有的股数。组合的期末价值是确定的，所以必须赚取无风险利率： $V_{0} = V_{1} / (1 + R_{f})$ 。由 $V_{0} = h S_{0} - c_{0}$ 得：

c_{0} = h S_{0} - V_{0}

看跌期权：买入 $h$ 股，买入一份看跌期权

看跌期权的对冲组合同时做多看跌期权和股票（股价下跌时看跌期权赚钱）：

h = \frac{p _{1}^{d} - p _{1}^{u}}{S _{1}^{u} - S _{1}^{d}}, V_{0} = h S_{0} + p_{0} \Rightarrow p_{0} = V_{0} - h S_{0}

核心概念

对冲法的步骤：

求出标的资产的两个期末价格 $S_{0} R^{u}$ 和 $S_{0} R^{d}$ ，以及期权在每个价格下的收益。
用看涨或看跌期权（put option）的公式算对冲比率 $h$ 。
在任一节点给对冲组合估值，得到 $V_{1}$ ；两个节点算出的数相同。
用无风险利率把 $V_{1}$ 折现一期，得到 $V_{0}$ 。
由 $V_{0}$ 和 $h S_{0}$ 倒推出期权价值。

例：

A one-period binomial tree. Today (t = 0): stock S0 = $25, call value c0 and put value p0 unknown. Up-move (R^u = 1.20): S = 25 × 1.20 = $30, call payoff Max(0, 30 − 24) = $6, put payoff Max(0, 24 − 30) = $0. Down-move (R^d = 0.80): S = 25 × 0.80 = $20, call payoff Max(0, 20 − 24) = $0, put payoff Max(0, 24 − 20) = $4. Horizon one year (t = 1); risk-free rate 5%. — One-period binomial tree for a stock at $25 with call and put payoffs (X = $24)

$S_{0} = 25$ ；一年后 $S_{1}^{u} = 30$ （ $R^{u} = 1.20$ ）或 $S_{1}^{d} = 20$ （ $R^{d} = 0.80$ ）； $X = 24$ ； $R_{f} = 5%$ 。

*看涨期权：* $c_{1}^{u} = 6$ ， $c_{1}^{d} = 0$ ，所以 $h = 6/ (30 - 20) = 0.60$ 。 $V_{1} = 0.60 (30) - 6 = 12 = 0.60 (20)$ 。 $V_{0} = 12/1.05 = 11.429$ 。 $c_{0} = 0.60 (25) - 11.429 = 3.57$ 。

*看跌期权：* $p_{1}^{u} = 0$ ， $p_{1}^{d} = 4$ ，所以 $h = 4/10 = 0.40$ 。 $V_{1} = 0.40 (30) + 0 = 12 = 0.40 (20) + 4$ 。 $V_{0} = 11.429$ 。 $p_{0} = 11.429 - 0.40 (25) = 1.43$ 。

用看跌—看涨期权平价（put–call parity）验证： $c_{0} - p_{0} = 3.57 - 1.43 = 2.14 = 25 - 24/1.05$ 。

对冲组合只是定价工具，构建它不需要真的支付现金。实务中的模型把期权的存续期分成许多短期，到期时就有许多可能的价格；单期二叉树用来说明方法。

常见考试陷阱

用无风险利率（risk-free rate）给对冲比率折现或复利。 $h$ 只是期权收益之差与价格之差的比值。
在看跌期权的对冲中卖出看跌期权（看跌期权的对冲是买入看跌期权 + 买入股票）。

LOS 79.b — 风险中性

对冲组合没有风险，所以期权价值与投资者的风险偏好无关。因此可以假定投资者是风险中性的来给期权估值：用风险中性概率给两种收益加权，再用无风险利率（risk-free rate）把预期收益折现。

核心概念

π_{U} = \frac{1 + R _{f} - R ^{d}}{R ^{u} - R ^{d}}, π_{D} = 1 - π_{U}

c_{0} = \frac{π _{U} c _{1}^{u} + π _{D} c _{1}^{d}}{1 + R _{f}}, p_{0} = \frac{π _{U} p _{1}^{u} + π _{D} p _{1}^{d}}{1 + R _{f}}

步骤：（1）算出上涨和下跌之后的期权收益；（2）用 $π_{U}$ 和 $π_{D}$ 求概率加权平均；（3）用无风险利率折现一期。

二叉树通常把下跌因子设为上涨因子的倒数（ $R^{d} = 1/ R^{u}$ ），所以上涨因子 1.25 对应下跌因子 0.80。

一级考试一般会直接给出风险中性概率；要做的是用它们给收益加权，再按无风险利率折现。 $π_{U}$ 和 $π_{D}$ 是伪概率（pseudo-probabilities）。它们不是涨跌的真实概率，而是来自无套利（no-arbitrage）对冲，所以按无风险利率折现是对的。上面的例子中， $π_{U} = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625$ ，所以 $c_{0} = 0.625 \times 6/1.05 = 3.57$ ，与对冲法的结果相同。

这个名字来自这组概率对标的资产的作用。用 $π_{U}$ 和 $π_{D}$ 加权后，标的资产的预期收益率（expected return）等于无风险利率： $π_{U} R^{u} + π_{D} R^{d} = 1 + R_{f}$ 。例子中， $0.625 \times 30 + 0.375 \times 20 = 26.25 = 25 \times 1.05$ ：在这组概率下，股票的预期收益正好是 5% 的无风险利率。

例题详解：用两种方法给看跌期权估值

某股票价格为 40。一年后它要么上涨为 1.25 倍，要么下跌为 0.80 倍，1 年期无风险利率为 3%。用风险中性概率给一份行权价为 42 的 1 年期欧式看跌期权（European put）估值，再用对冲法验证。

第 1 步。年末价格： $40 \times 1.25 = 50$ 和 $40 \times 0.80 = 32$ 。看跌期权收益： $p_{1}^{u} = 0$ ， $p_{1}^{d} = 42 - 32 = 10$ 。

第 2 步。 $π_{U} = (1.03 - 0.80) / (1.25 - 0.80) = 0.23/0.45 = 0.5111$ ， $π_{D} = 1 - 0.5111 = 0.4889$ 。

第 3 步。 $p_{0} = (0.5111 \times 0 + 0.4889 \times 10) /1.03 = 4.889/1.03 = 4.75$ 。

第 4 步。对冲验证： $h = (10 - 0) / (50 - 32) = 0.5556$ 。0.5556 股加一份看跌期权的组合，上涨后价值 $0.5556 \times 50 + 0 = 27.78$ ，下跌后价值 $0.5556 \times 32 + 10 = 27.78$ 。

第 5 步。 $V_{0} = 27.78/1.03 = 26.97$ ，所以 $p_{0} = 26.97 - 0.5556 \times 40 = 26.97 - 22.22 = 4.75$ 。

结果：两种方法算出的看跌期权价值都是 4.75。

方法	用到什么	折现率
对冲（复制）组合	对冲比率 $h$ ，确定的期末价值	无风险利率
风险中性定价	$π_{U}$ 、 $π_{D}$ （由涨跌幅度和 $R_{f}$ 得出）	无风险利率

常见考试陷阱

用真实概率给收益加权。
忘了给预期收益折现。例子中的看涨期权会因此算成 3.75，而不是 3.57。
用经风险调整的利率折现，而不是无风险利率（risk-free rate）。

答题技巧

对于没有收益、也没有持有成本的标的资产，同一行权价、同一到期日的欧式期权（European option），算出看涨期权价值后，看跌期权价值可以直接由看跌—看涨期权平价得到： $p_{0} = c_{0} - S_{0} + X / (1 + R_{f})$ ，不用再做一次对冲计算。

本节要点

单期二叉树模型（binomial model）用标的资产当前价格、行权价、上涨和下跌因子以及无风险利率（risk-free rate）给期权估值；既不需要真实概率，也不需要经风险调整的折现率（discount rate）。
看涨期权的对冲组合是买入 $h$ 股、卖出一份看涨期权， $h = (c_{1}^{u} - c_{1}^{d}) / (S_{1}^{u} - S_{1}^{d})$ ；把它确定的期末价值按无风险利率（risk-free rate）折现， $c_{0} = h S_{0} - V_{0}$ 。
看跌期权的对冲组合是买入 $h$ 股、买入一份看跌期权， $h = (p_{1}^{d} - p_{1}^{u}) / (S_{1}^{u} - S_{1}^{d})$ ， $p_{0} = V_{0} - h S_{0}$ 。
$π_{U} = (1 + R_{f} - R^{d}) / (R^{u} - R^{d})$ ， $π_{D} = 1 - π_{U}$ ；期权价值等于用 $π_{U}$ 和 $π_{D}$ 加权的收益，再按无风险利率（risk-free rate）折现一期。
风险中性概率是由无套利对冲推出的伪概率，在这组概率下标的资产的预期收益率（expected return）等于无风险利率（risk-free rate）；它们不是涨跌的真实概率。
对冲法和风险中性定价都按无风险利率（risk-free rate）折现，得出的期权价值相同。

随堂小测

第 1 题核心

Shares of Solvay Ridge follow the one-period binomial tree shown below. The one-year risk-free rate is 4%.

One-period binomial tree for Solvay Ridge shares

An analyst wants to write one-year European calls on the shares with an exercise price of $44 and hold shares so that the combined position has the same value at expiration whatever the share price. The number of shares to hold per call written is closest to:

查看答案和解析

正确答案： B

对冲比率等于看涨期权收益之差除以股价之差。它是收益之间的比值，不涉及用无风险利率（risk-free rate）折现或复利。

看涨期权收益： $c_{1}^{u} = max (0, 50 - 44) = 6$ ； $c_{1}^{d} = max (0, 32 - 44) = 0$ 。

h = \frac{c _{1}^{u} - c _{1}^{d}}{S _{1}^{u} - S _{1}^{d}} = \frac{6 - 0}{50 - 32} = \frac{6}{18} = 0.333

验证：上涨后价值 $= 0.333 (50) - 6 = 10.67$ ；下跌后价值 $= 0.333 (32) - 0 = 10.67$ 。每卖出一份看涨期权持有 0.333 股，组合在两种状态下都值 10.67。

其他选项为什么错

A. 0.32 是把对冲比率除以 1.04（ $0.3333/1.04 = 0.3205$ ）；无风险利率用来给组合估值，与 $h$ 的计算无关。
C. 0.35 是把对冲比率乘以 1.04（ $0.3333 \times 1.04 = 0.3467$ ）；同样， $h$ 不按利息调整。

本题要点 $h = (c_{1}^{u} - c_{1}^{d}) / (S_{1}^{u} - S_{1}^{d})$ 。只有在给确定的组合价值折现时才用到无风险利率。

练习题

第 2 题核心

Shares of Keswick Marine trade at $60. In one year they will be worth either $78 after an up-move or $51 after a down-move. The one-year risk-free rate is 3%, and the risk-neutral probability of an up-move is 0.40. An analyst estimates the actual probability of an up-move at 0.55. Using risk-neutral valuation, the value of a one-year European call on the shares with an exercise price of $65 is closest to:

查看答案和解析

正确答案： A

风险中性定价用风险中性（伪）概率给期权收益加权，再用无风险利率（risk-free rate）把预期收益折现一期。分析师估计的上涨真实概率不起作用。

到期收益： $c_{1}^{u} = max (0, 78 - 65) = 13$ ； $c_{1}^{d} = max (0, 51 - 65) = 0$ 。

风险中性概率： $π_{U} = 0.40$ ， $π_{D} = 1 - 0.40 = 0.60$ 。

预期收益： $0.40 (13) + 0.60 (0) = 5.20$

c_{0} = \frac{π _{U} c _{1}^{u} + π _{D} c _{1}^{d}}{1 + R _{f}} = \frac{5.20}{1.03} = 5.049 \approx $5.05

用对冲法验证： $h = 13/ (78 - 51) = 0.4815$ ； $V_{1} = 0.4815 (51) = 24.56$ ； $V_{0} = 24.56/1.03 = 23.84$ ； $c_{0} = 0.4815 (60) - 23.84 = 5.05$ 。（题目给的概率与二叉树一致： $(1.03 - 0.85) / (1.30 - 0.85) = 0.40$ 。）

其他选项为什么错

B. $5.20 是风险中性预期收益 $0.40 \times 13$ ，没有按无风险利率折现一年。
C. $6.94 用分析师估计的真实概率代替风险中性概率给收益加权： $0.55 \times 13/1.03$ 。

本题要点风险中性价值 = 用风险中性概率（不是真实概率）算出的预期收益，按无风险利率折现。

第 3 题核心

In a one-period binomial model, a call is valued by combining one short call with $h$ shares of the underlying so that the portfolio's value at the end of the period is the same after an up-move or a down-move. Rearranging this relationship, a position that replicates a long call consists of:

查看答案和解析

正确答案： C

对冲组合的价值为 $V_{0} = h S_{0} - c_{0}$ 。它的期末价值是确定的，所以 $V_{0}$ 是一笔无风险金额的现值（present value, PV）。移项得 $c_{0} = h S_{0} - V_{0}$ ：看涨期权相当于持有 $h$ 股，同时欠下无风险金额 $V_{0}$ ，也就是部分用按无风险利率（risk-free rate）借来的钱买股票。这个加杠杆的标的资产多头头寸（long position）在两种状态下的收益都与看涨期权相同：在下面的示例中，上涨后为 4，下跌后为 0。

*例：* $S_{0} = 30$ ； $S_{1}^{u} = 36$ ， $S_{1}^{d} = 25$ ； $X = 32$ ；本期无风险利率 3%。

$c_{1}^{u} = 4$ ， $c_{1}^{d} = 0$ ，所以 $h = 4/ (36 - 25) = 0.3636$ 。

对冲组合的无风险价值： $V_{1} = 0.3636 \times 25 = 9.091$ ，所以 $V_{0} = 9.091/1.03 = 8.826$ 。

$c_{0} = 0.3636 \times 30 - 8.826 = 10.909 - 8.826 = 2.083$ 。

复制：花 10.909 买 0.3636 股，借入 8.826。上涨： $0.3636 \times 36 - 9.091 = 4$ 。下跌： $0.3636 \times 25 - 9.091 = 0$ 。这正是看涨期权的收益。

其他选项为什么错

A. 贷出资金会在股票头寸上加一笔无风险的正金额，涨跌之后组合的价值都会高于看涨期权。在对冲中， $V_{0} = h S_{0} - c_{0}$ 是一笔正的无风险金额的现值，而 $c_{0} = h S_{0} - V_{0}$ 说明复制组合欠着这笔钱：它是借入，不是贷出。
B. 卖空股票加贷出资金，在股价下跌时赚钱。这种组合复制的是看跌期权： $p_{0} = V_{0} - h S_{0}$ 。

本题要点在单期二叉树模型（binomial model）中，看涨期权可以用部分借款买入 $h$ 股来复制；看跌期权可以用卖空 $h$ 股并按无风险利率贷出资金来复制。

本章题库共 8 道题。去题库全部练习。

本章要点

$h = (c_{1}^{u} - c_{1}^{d}) / (S_{1}^{u} - S_{1}^{d})$ 。只有在给确定的组合价值折现时才用到无风险利率。
风险中性价值 = 用风险中性概率（不是真实概率）算出的预期收益，按无风险利率折现。
在单期二叉树模型（binomial model）中，看涨期权可以用部分借款买入 $h$ 股来复制；看跌期权可以用卖空 $h$ 股并按无风险利率贷出资金来复制。

本章学习目标

期权价值的二叉树模型（Binomial Model for Option Values）

LOS 79.a — 单期二叉树模型：对冲法，也叫复制（replication）法

看涨期权：买入 h 股，卖出一份看涨期权

看跌期权：买入 h 股，买入一份看跌期权

LOS 79.b — 风险中性

例题详解：用两种方法给看跌期权估值

答题技巧

本节要点

练习题

本章要点

看涨期权：买入 $h$ 股，卖出一份看涨期权

看跌期权：买入 $h$ 股，买入一份看跌期权