衍生品 · 第 78 章

用看跌—看涨期权平价复制期权（Option Replication Using Put-Call Parity）

CFA 一级 · 衍生品 · 第 78 章 · 约 20 分钟

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本章学习目标

LOS 78.a 解释欧式期权（European option）的看跌—看涨期权平价（信托看涨组合（fiduciary call）= 保护性看跌期权组合（protective put）），并用它构建合成股票、合成看涨期权、合成看跌期权和合成债券。
LOS 78.b 解释欧式期权的看跌—看涨期权远期平价（put–call forward parity），以及用期权看待公司权益（equity）和债务的视角（把信用风险（credit risk）看作一份看跌期权）。

模块 78.1

看跌—看涨期权平价（Put-Call Parity）

本章从无套利出发推导看跌—看涨期权平价和看跌—看涨期权远期平价，再用期权的思路分析公司的权益（equity）和债务。考生要会用平价关系给期权估值、构建合成头寸，能识别并利用违反平价的机会，还要能解释为什么股东（shareholders）持有一份以公司资产为标的的看涨期权，而债权人持有看跌期权的空头。

LOS 78.a — 看跌—看涨期权平价

两个组合都用欧式期权构建，标的资产（underlying）相同，行权价（exercise price）都是 $X$ ，到期时间都是 $T$ ：

信托看涨组合（fiduciary call） = 买入看涨期权（call option）+ 一份到期支付 $X$ 的无风险纯贴现债券（pure-discount bond）。
保护性看跌期权组合（protective put） = 买入一股标的资产 + 买入看跌期权（put option）。

到期时的损益：

	$S_{T} \leq X$	$S_{T} > X$
信托看涨组合	看涨期权 $0$ + 债券 $X$ = $X$	看涨期权 $S_{T} - X$ + 债券 $X$ = $S_{T}$
保护性看跌期权组合	股票 $S_{T}$ + 看跌期权 $X - S_{T}$ = $X$	股票 $S_{T}$ + 看跌期权 $0$ = $S_{T}$

两个组合在任何情形下都支付 $max (S_{T}, X)$ 下图，所以按无套利原则，它们今天的成本必须相同。这就是看跌—看涨期权平价（put–call parity）：

Fiduciary call and protective put with exercise price 40: identical payoffs at expiration

核心概念

c + X (1 + R_{f})^{- T} = S + p

合成证券

移项后可以单独表示其中任何一种工具。+ 号表示多头头寸（long position），− 号表示空头头寸（short position）（债券空头 = 借入 $X$ 的现值；债券多头 = 借出这笔钱）：

核心概念

目标（合成等价物）	复制组合
合成股票（synthetic stock）： $S = c - p + X (1 + R_{f})^{- T}$	买入看涨期权，卖出看跌期权，买入债券
合成看跌期权（synthetic put）： $p = c - S + X (1 + R_{f})^{- T}$	买入看涨期权，卖空股票，买入债券
合成看涨期权（synthetic call）： $c = S + p - X (1 + R_{f})^{- T}$	买入股票，买入看跌期权，卖出债券（借款）
合成债券（synthetic bond）： $X (1 + R_{f})^{- T} = S + p - c$	买入股票，买入看跌期权，卖出看涨期权

这种形式的平价关系适用于欧式期权，要求行权价和到期日相同，且标的资产在期权存续期内没有收益、也没有持有成本。

套利（arbitrage）。平价一边相对另一边便宜时，买便宜的一边，卖贵的一边。例如看跌期权的价格低于 $c - S + P V (X)$ 时，买入看跌期权，同时卖出合成看跌期权：卖出看涨期权，买入股票，借入 $P V (X)$ 。两者的差额就是今天收到的套利利润。

*例：* $S = 36$ ， $X = 35$ ，距到期 3 个月， $R_{f} = 6%$ ，看跌期权价格 1.10。由平价关系推出的看涨期权价值为

c = S + p - \frac{X}{( 1 + R _{f} ) ^{T}} = 36 + 1.10 - \frac{35}{1.0 6 ^{0.25}} = 37.10 - 34.49 = 2.61

如果看涨期权报价是 3.00，它比价值 2.61 的合成看涨期权贵。以 3.00 卖出看涨期权，再构建合成看涨期权：以 36 买入股票，以 1.10 买入看跌期权，借入 34.49。合成看涨期权的成本是 2.61，今天净收 0.39。到期时，股票加看跌期权价值 $max (S_{T}, 35)$ ，归还借款 35，卖出的看涨期权要付出 $max (0, S_{T} - 35)$ 。三者在任何情形下合计为零，所以这 0.39 是套利利润。

常见考试陷阱

把信托看涨组合（看涨期权 + 支付 $X$ 的债券）和备兑看涨期权组合（covered call）（股票 + 卖出看涨期权）混淆，或和看涨期权 + 股票混淆。
债券方向弄反：合成看涨期权要借款（债券空头）；合成看跌期权要借出（债券多头）。
$X$ 的折现期限用错，或者忘了折现。在上面 3 个月的例子里，不折现 35 得到的看涨期权价值是 2.10，按整整一年折现得到 4.08，正确值是 2.61。

LOS 78.b — 看跌—看涨期权远期平价及期权在公司金融中的应用

**远期合约（forward contract）多头（价格为 $F_{0} (T)$ ）加一份支付 $F_{0} (T)$ 、在 $T$ 时到期的纯贴现债券，可以复制标的资产（underlying）：到 $T$ 时，债券的本息正好用来支付买入资产的价款。远期合约签订时不花钱，所以这个合成资产（synthetic asset）**的成本是 $F_{0} (T) (1 + R_{f})^{- T}$ 。在看跌—看涨期权平价中用它替换 $S$ ，就得到（远期合约签订时的）看跌—看涨期权远期平价：

核心概念

F_{0} (T) (1 + R_{f})^{- T} + p_{0} = c_{0} + X (1 + R_{f})^{- T}

也可以写成

p_{0} - c_{0} = [X - F_{0} (T)] (1 + R_{f})^{- T}

所以，买入看跌期权（put option）加卖出看涨期权（ $X$ 相同）的价值，等于一份到期支付 $X - F_{0} (T)$ 的无风险债券。这对期权和债券相等的是价值，不是损益：到期时它支付 $X - S_{T}$ ，这个数不确定。远期合约多头（损益为 $S_{T} - F_{0} (T)$ ）消除了这种不确定性，所以期权加远期合约支付固定金额 $X - F_{0} (T)$ ；远期合约签订时不花钱，加上它不改变价值。公式的组成部分是看涨期权、看跌期权、行权价的现值（present value）和远期价格（forward price）的现值。标的资产的即期价格（spot price）不出现在公式里。

*例：*一年期远期价格 62， $X = 60$ ， $R_{f} = 5%$ ： $p_{0} - c_{0} = (60 - 62) /1.05 = - 1.90$ ，所以看涨期权必须比看跌期权贵 1.90。

用期权看公司（权益和债务）

设一家公司的资金来自权益和一笔面值（face value）为 $D$ 的零息债券（zero-coupon bond）债务；公司价值 $V$ = 权益 + 债务。

由于有限责任（limited liability），股东持有一份看涨期权，标的是公司资产，行权价（exercise price）为 $D$ ：若 $V_{T} > D$ ，股东还清债务，拿走剩下的部分；若 $V_{T} < D$ ，股东违约，一走了之。
换个角度，股东持有公司资产，外加一份以资产为标的、行权价为 $D$ 的看跌期权多头。违约就相当于把资产“卖给”债权人。
债权人持有对 $D$ 的无风险索取权，外加一份卖给股东的看跌期权空头。这份看跌期权就是公司的信用风险（credit risk）（违约风险（default risk））：债务价值比 $P V (D)$ 低，差额就是这份看跌期权的价值。

V_{0} = c_{0} + P V (D) - p_{0}

其中 $c_{0}$ 是权益， $P V (D) - p_{0}$ 是有风险的债务。

债务到期日（maturity）时，两类索取权分别支付

Equity_{T} = max (0, V_{T} - D) Debt_{T} = min (V_{T}, D) = D - max (0, D - V_{T})

Two panels with the value of the firm's assets at debt maturity, V, from 0 to 200 on the horizontal axis and payoff from −100 to 200 on the vertical axis; a dotted vertical line marks D = 100. Left panel, shareholders: equity = Max(0, V − D) is 0 for V up to 100 and rises one-for-one to 100 at V = 200, the payoff of a long call on the assets. Right panel, debtholders: a dotted flat line at 100 for the risk-free claim to D; a dashed short put line, −Max(0, D − V), rising from −100 at V = 0 to 0 at V = 100 and flat at 0 above; and a bold debt payoff, D − Max(0, D − V), rising from 0 at V = 0 to 100 at V = 100 and flat at 100 above. — Payoffs at debt maturity to shareholders and debtholders of a firm with zero-coupon debt of face value 100

*例：*设 $D = 100$ ：若 $V_{T} = 130$ ，股东偿还 100，留下 30。若 $V_{T} = 70$ ，股东违约，权益价值为 0，债权人收到 70，即无风险的 100 减去看跌期权的损益 30。

常见考试陷阱

说代表信用风险（credit risk）的看跌期权是股东卖出的。实际上债权人是这份看跌期权的空头，股东持有它。
在看跌—看涨期权远期平价中放入即期价格；取代它的是远期价格（按现值计）。
用远期价格的终值（future value），而不是现值。在一年期的例子里，这样会得到 $p_{0} - c_{0} = - 2.00$ ，而不是 −1.90。
认为单靠买入看跌期权（put option）加卖出看涨期权就能复制债券的损益；还需要远期合约（forward contract）多头。

本节要点

信托看涨组合（看涨期权多头加支付 $X$ 的债券）和保护性看跌期权组合（股票加看跌期权多头）都支付 $max (S_{T}, X)$ ，所以 $c + X (1 + R_{f})^{- T} = S + p$ 。
这种形式的看跌—看涨期权平价适用于欧式期权，要求行权价（exercise price）和到期日相同，且标的资产（underlying）在期权存续期内没有收益、也没有持有成本。
移项可以得到合成头寸：合成看涨期权是股票多头、看跌期权多头和债券空头（借入 $P V (X)$ ）；合成看跌期权是看涨期权多头、股票空头和债券多头（借出 $P V (X)$ ）。
平价一边相对另一边便宜时，买便宜的一边、卖贵的一边，今天就能把价差作为套利（arbitrage）利润收入囊中。
看跌—看涨期权远期平价用远期价格（forward price）的现值替换即期价格， $F_{0} (T) (1 + R_{f})^{- T} + p_{0} = c_{0} + X (1 + R_{f})^{- T}$ ，所以 $p_{0} - c_{0} = [X - F_{0} (T)] (1 + R_{f})^{- T}$ 。
对资金来自权益和面值为 $D$ 的零息债务的公司，股东持有以公司资产为标的、行权价（exercise price）为 $D$ 的看涨期权，等价于持有资产加一份看跌期权多头。
债权人持有对 $D$ 的无风险索取权，外加一份卖给股东的看跌期权空头；这份看跌期权就是公司的信用风险（credit risk），且 $V_{0} = c_{0} + P V (D) - p_{0}$ 。

随堂小测

第 1 题核心

A portfolio manager wants to reproduce the expiration payoff of a European put without trading any puts. She can trade the stock, a European call with the same strike and expiration, and a risk-free pure-discount bond that pays the exercise price X at expiration. Based on put–call parity, which combination should she hold?

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正确答案： B

从看跌—看涨期权平价解出看跌期权： $p = c - S + X (1 + R_{f})^{- T}$ ，即看涨期权多头、股票空头，再把 $P V (X)$ 投到无风险债券上（债券多头）。到期时，这个组合正好支付 $max (0, X - S_{T})$ 。

其他选项为什么错

A. 借款（债券空头）方向错了：看跌期权的等式里加的是 $P V (X)$ ，所以债券应持有多头。
C. 这是合成看跌期权的反向头寸（相当于用合成方式卖出了一份看跌期权）。

本题要点平价关系的看跌期权一边： $p = c - S + P V (X)$ ，所以持有看涨期权多头、股票空头和债券多头。

练习题

第 2 题核心

Castellan Group is financed with common equity and a single issue of zero-coupon debt. When options theory is applied to this capital structure, the firm's credit risk can be modeled as a:

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正确答案： A

债务到期时，如果公司资产的价值低于所欠面值，股东就会违约，相当于以等于债务面值的价格把资产“卖给”债权人。这份看跌期权是债权人卖出的，所以债权人的索取权价值等于本金（principal）按无风险利率折现后的价值减去看跌期权的价值；这份看跌期权就是公司的信用（违约）风险。

其他选项为什么错

B. 股东的剩余索取权（residual claim）可以看作以公司资产为标的的看涨期权，但信用风险（credit risk）本身是债权人卖给股东的看跌期权。
C. 方向错了：期权由股东持有（一份看涨期权，或资产加一份看跌期权）；卖出期权的是债权人。

本题要点债务 = 无风险的 $P V (D)$ − 看跌期权；权益 = 以资产为标的、行权价（exercise price）为 $D$ 的看涨期权。

第 3 题核心

Shares of Brisa Networks trade at $73.00. A 6-month European call on the shares with an exercise price of $70.00 is priced at $6.20, and the annual risk-free rate is 4%. The shares pay no dividends. Based on put–call parity, the value of a 6-month European put with the same exercise price is closest to:

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正确答案： A

按看跌—看涨期权平价，看跌期权 = 看涨期权 − 股票 + 行权价（exercise price）的现值；行权价按无风险利率（risk-free rate）在 6 个月的期限内折现。

p = c - S + X (1 + R_{f})^{- T}

P V (X) = 70.00/1.0 4^{0.5} = 70.00/1.019804 = 68.641

p = 6.20 - 73.00 + 68.641 = 1.841 \approx $1.84

其他选项为什么错

B. $3.20 用的是未折现的行权价（ $6.20 - 73.00 + 70.00$ ）；平价关系要求用 $P V (X)$ 。
C. $10.56 把符号弄反了，算的是 $c + S - P V (X) = 6.20 + 73.00 - 68.64$ 。

本题要点用看跌—看涨期权平价时， $X$ 一定要按期权的剩余期限折现。

本章题库共 14 道题。去题库全部练习。

本章要点

平价关系的看跌期权一边： $p = c - S + P V (X)$ ，所以持有看涨期权多头、股票空头和债券多头。
债务 = 无风险的 $P V (D)$ − 看跌期权；权益 = 以资产为标的、行权价（exercise price）为 $D$ 的看涨期权。
用看跌—看涨期权平价时， $X$ 一定要按期权的剩余期限折现。