衍生品 · 第 77 章

期权的定价与估值（Pricing and Valuation of Options）

CFA 一级 · 衍生品 · 第 77 章 · 约 25 分钟

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本章学习目标

LOS 77.a 解释期权的行权价值（exercise value，即内在价值（intrinsic value））、价值状态（moneyness，即实值、平值、虚值）和时间价值（time value）。
LOS 77.b 比较远期承诺（forward commitment）的无套利（no-arbitrage）定价与或有索取权（contingent claim）基于复制（replication）的定价，包括欧式期权（European option）价值的上限和下限。
LOS 77.c 识别决定期权价值的六个因素，以及每个因素对看涨期权和看跌期权价值的影响方向。

模块 77.1

期权估值（Option Valuation）

本章讲期权（option）定价的基础：价值状态（moneyness）、行权价值（exercise value）和时间价值（time value），欧式期权（European option）价值的无套利（no-arbitrage）边界，以及影响期权价值的因素。考生要会算行权价值、时间价值，以及欧式看涨期权（call option）和看跌期权（put option）的下限和上限，还要能说出六个因素各自如何改变看涨和看跌期权的价值。

LOS 77.a — 价值状态、行权价值和时间价值

价值状态描述持有人现在行权能得到什么。设 $S$ = 标的资产（underlying）的当前价格， $X$ = 行权价（exercise price，也叫 strike price）：

核心概念

	看涨期权	看跌期权
实值（in the money, ITM）	$S > X$	$S < X$
平值（at the money, ATM）	$S = X$	$S = X$
虚值（out of the money, OTM）	$S < X$	$S > X$

实值（in the money, ITM）期权如果马上行权，会带来正的收益。虚值（out of the money, OTM）期权不会，所以持有人干脆不行权。

Two panels with the underlying price at expiration from 20 to 80 on the horizontal axis and payoff from 0 to 30 on the vertical axis. Left: long call with X = 50; payoff is 0 for prices up to 50 and rises one-for-one to 30 at a price of 80; the region above 50 is shaded 'In the money, S > X' and the region below 50 is labeled 'Out of the money, S < X'. Right: long put with X = 50; payoff falls one-for-one from 30 at a price of 20 to 0 at 50 and stays 0 above 50; the region below 50 is shaded 'In the money, S < X' and above 50 is 'Out of the money, S > X'. A dashed line at 50 marks the at-the-money point. — Payoff at expiration of a long call and a long put, both with exercise price 50

行权价值（也叫内在价值（intrinsic value））是期权处于实值的金额，最低为零：

Call exercise value = max (0, S - X) Put exercise value = max (0, X - S)

到期前，期权价格通常高于行权价值。两者之差就是时间价值（有时也叫投机价值（speculative value））：

Option premium = exercise value + time value, so time value = premium - exercise value

由此得出三点：

虚值或平值（at the money, ATM）期权的行权价值为零，整个期权费（premium）都是时间价值。
实值期权的行权价值为正，所以时间价值小于期权费。
时间价值来自到期前标的资产向有利方向变动的可能。它一般随到期日临近而缩小，到期时为零，这时期权恰好值它的行权价值（平值或虚值则为零）。时间价值通常为正，但也可以为负：深度实值的欧式看跌期权可能以低于 $X - S$ 的价格交易，因为持有人要等到到期才能收到 $X$ 。

*例：*股票价格 $83。行权价 80 的看涨期权实值 $3（行权价值 $3），行权价 80 的看跌期权虚值 $3（行权价值 $0）。看涨期权的期权费若为 $5.40，时间价值为 $5.40 - 3.00 = $2.40$ 。看跌期权的期权费若为 $0.85，这 $0.85 全部是时间价值。

LOS 77.b — 或有索取权的套利与复制

远期承诺（forward commitment）包括远期、期货和互换（swap），定价时使合约在签订时对双方的价值都为零，双方面临的盈亏基本上都没有上限。期权（或有索取权（contingent claim））有两点不同。买方要付期权费，所以合约签订时价值为正；收益是单边的，买方的损失以期权费为限。因此期权用复制（replication）法定价：把期权的收益与一笔标的资产（underlying）头寸和一只纯贴现债券（pure discount bond）（无风险零息债券（zero-coupon bond））组合起来；无套利（arbitrage）要求：收益永远不为负的组合，自身价值必须大于或等于零。

用两个这样的组合可以得到下限：

*看涨期权。*买入看涨期权，买入一只支付 $X$ 、在 $T$ 时到期的纯贴现债券，卖空一股。 $T$ 时的收益为 $c_{T} + X - S_{T}$ ：若 $S_{T} \geq X$ 为零，否则为 $X - S_{T} > 0$ 。它永远不为负，所以 $c_{0} - S_{0} + X (1 + R_{f})^{- T} \geq 0$ ，即 $c_{0} \geq S_{0} - X (1 + R_{f})^{- T}$ 。
*看跌期权。*买入看跌期权，买入一股，借入 $X (1 + R_{f})^{- T}$ 。 $T$ 时的收益为 $p_{T} + S_{T} - X$ ：若 $S_{T} \leq X$ 为零，否则为 $S_{T} - X > 0$ 。因此 $p_{0} + S_{0} - X (1 + R_{f})^{- T} \geq 0$ ，即 $p_{0} \geq X (1 + R_{f})^{- T} - S_{0}$ 。

再加上期权价值不可能为负，就得到欧式期权（European option）在 $t$ 时的边界值（ $T$ 时到期， $R_{f}$ = 无风险利率（risk-free rate））：

核心概念

期权	最小值	最大值
欧式看涨期权	$c_{t} \geq max [0, S_{t} - X (1 + R_{f})^{- (T - t)}]$	$S_{t}$
欧式看跌期权	$p_{t} \geq max [0, X (1 + R_{f})^{- (T - t)} - S_{t}]$	$X (1 + R_{f})^{- (T - t)}$

没有人会为买入股票的权利支付超过股价的钱。欧式看跌期权最多付 $X$ ，而且这笔钱到期前拿不到，所以它的上限是 $X$ 的现值（present value）。下限用行权价的现值，是因为欧式期权不能提前行权。

*例：* $S_{0} = 83$ ， $X = 80$ ，距到期六个月， $R_{f} = 4%$ 。 $P V (X) = 80/1.0 4^{0.5} = 78.45$ 。看涨期权下限为 $83 - 78.45 = 4.55$ ；看跌期权下限为 $max (0, 78.45 - 83) = 0$ 。

LOS 77.c — 决定期权价值的因素

期权价值由六个因素决定。在其他条件不变时，各因素的影响如下：

核心概念

以下因素上升	看涨期权价值	看跌期权价值
标的资产价格	上升	下降
行权价	下降	上升
无风险利率	上升	下降
标的资产的波动率（volatility）	上升	上升
距到期时间	上升	通常上升（部分欧式看跌期权例外）
持有资产的成本和收益	收益（股息、利息、便利收益率（convenience yield））：下降。仓储成本：上升	收益：上升。仓储成本：下降

*标的资产价格和行权价。*这两个因素直接决定行权价值： $S$ 上升或 $X$ 下降，看涨期权升值； $S$ 下降或 $X$ 上升，看跌期权升值。到期时只有这两个因素起作用，因为时间价值为零。利率和波动率只影响时间价值。
*无风险利率（risk-free rate）。*看涨期权持有人将来要支付 $X$ ，利率越高，这笔支付的现值（present value）越低，看涨期权就越值钱。看跌期权持有人将来收到 $X$ ，利率越高，这笔收入的现值越低，看跌期权就越不值钱。所以利率下降时，看涨期权跌价，看跌期权升值。
*波动率。*波动率让看涨和看跌期权（put option）都更值钱，因为下行损失有上限，而潜在的上行空间变大。没有波动率，来自有利价格变动的时间价值就会消失。考试惯例：此时期权价值等于行权价值。现行做法：定价模型仍对欧式期权（European option）的行权价折现。波动率为零时，标的资产按无风险利率增长，所以不付股息（dividends）股票的欧式看涨期权价值为 $S - P V (X)$ ，前提是 $S > P V (X)$ 。
*距到期时间。*时间越长，相当于波动率越大，所以看涨期权和大多数看跌期权更值钱。不过，深度实值（in the money, ITM）的欧式看跌期权期限越长，价值可能越低，因为它的上行空间几乎封顶，而 $X$ 收到得更晚，现值更低。看跌期权实值越深、无风险利率越高、距到期时间越长，越可能出现这种情况。
*持有收益和成本。*股息（dividends）这类收益会压低标的资产价格，对看涨期权不利，对看跌期权有利。仓储成本的作用相反。

**看涨期权多头（long call）**在标的资产上涨时获利，利润与价格正相关。**看跌期权多头（long put）**在标的资产下跌时获利，利润与价格负相关。空头头寸（short position）的敏感性相反：**看跌期权空头（short put）**在标的资产价格上涨时升值，在波动率上升或（对大多数看跌期权而言）距到期时间变长时贬值。

*例：*某投资者持有同一股票的看跌期权多头和看涨期权多头。无风险利率下降时，看涨期权贬值，看跌期权升值，所以两个头寸只有一个受益。如果他持有的是看跌期权多头和看涨期权空头，两个头寸都会获利。

常见考试陷阱

价值状态比较的是行权价与当前价格。它说明不了期权现在的价值是否高于持有人当初的买价。
欧式期权（European option）的边界用 $P V (X)$ 。看跌期权的上限是 $P V (X)$ ，不是 $X$ ；下限中用 $X$ 得到的是马上行权的行权价值。在上面六个月的例子里，用 $X$ 会得出看涨期权下限 3.00（而不是 4.55）、看跌期权上限 80（而不是 78.45）。
无风险利率（risk-free rate）让看涨和看跌期权价值反向变动，波动率让两者同向变动。
期限更长不一定提高欧式看跌期权的价值。

本节要点

$S > X$ 时看涨期权处于实值（in the money, ITM）， $S < X$ 时看跌期权处于实值； $S = X$ 时两者都是平值（at the money, ATM）。
看涨期权的行权价值为 $max (0, S - X)$ ，看跌期权为 $max (0, X - S)$ ；时间价值是期权费减行权价值，所以行权价值为零的期权，期权费全部是时间价值。
时间价值一般随到期日临近而缩小，到期时为零；通常为正，但深度实值（in the money, ITM）的欧式看跌期权可以为负。
欧式期权（European option）边界： $max [0, S_{t} - X (1 + R_{f})^{- (T - t)}] \leq c_{t} \leq S_{t}$ ， $max [0, X (1 + R_{f})^{- (T - t)} - S_{t}] \leq p_{t} \leq X (1 + R_{f})^{- (T - t)}$ 。
其他条件不变，标的资产价格上升或行权价下降会提高看涨期权价值、降低看跌期权价值；无风险利率（risk-free rate）上升使看涨期权升值、看跌期权贬值；波动率上升使两者都升值。
距到期时间越长，看涨期权价值越高，看跌期权通常也越高；但深度实值（in the money, ITM）的欧式看跌期权期限越长可能越不值钱，实值越深、无风险利率（risk-free rate）越高、距到期时间越长，越可能如此。
持有标的资产（underlying）的收益（如股息）降低看涨期权价值、提高看跌期权价值，仓储成本则相反。
到期时只有标的资产价格和行权价起作用，因为时间价值为零；利率和波动率只影响时间价值。

随堂小测

第 1 题核心

Hana Novak owns two options on the same stock: a call with an exercise price of $62 and a put with an exercise price of $70. If the stock currently trades at $66:

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正确答案： C

看涨期权处于实值（in the money, ITM），因为 Novak 可以用 $62 买入价值 $66 的股票（ $S - X = 4$ ）。看跌期权也处于实值，因为她可以用 $70 卖出价值 $66 的股票（ $X - S = 4$ ）。

其他选项为什么错

A. 两个期权现在行权都会带来正的收益，所以都处于实值。
B. 看涨期权处于实值，但看跌期权也是，因为它的行权价高于市场价格。

本题要点两个期权分开判断：看涨期权 $S > X$ 时为 ITM，看跌期权 $S < X$ 时为 ITM。行权价不同，两者可以同时处于实值。

练习题

第 2 题核心

Which statement about a European put option is most accurate?

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正确答案： C

股价低于行权价时，看跌期权才有收益。所以它的行权价值是 $max (0, X - S)$ ：行权价减股价，差额为正时取该差额，否则为零。行权价值也叫内在价值（intrinsic value）。

其他选项为什么错

A. $S - X$ 是看涨期权的行权价值。看跌期权要反过来减。
B. 时间价值是市场价格减行权价值。把两者相加，得到的数比期权费本身还大。

本题要点看涨期权行权价值 $= max (0, S - X)$ ；看跌期权行权价值 $= max (0, X - S)$ 。时间价值等于期权费减行权价值。

第 3 题核心

Compared with forward commitments, why must a different no-arbitrage approach be used to price options?

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正确答案： A

远期承诺（forward commitment）的定价使合约在签订时对双方价值都为零，双方面临的盈亏基本上都没有上限。期权买方要付期权费，所以期权在签订时价值为正，收益是单边的（买方的损失和卖方的收益都以期权费为限）。因此期权用复制（replication）法定价：把期权与一只纯贴现债券以及一笔标的资产（underlying）的多头或空头头寸（short position）组合起来。

其他选项为什么错

B. 或有索取权（contingent claim）正是用复制法定价的：把期权与一只无风险纯贴现债券和一笔标的资产头寸组合起来。
C. 无套利（arbitrage）定价和复制定价都按无风险利率（risk-free rate）折现，不需要风险调整后的折现率（discount rate）。

本题要点远期的初始价值为零，收益是双向的。期权有正的期权费，收益是单边的，所以用复制法定价。

第 4 题核心

Tomás Reyes has bought a European call option and written a European put option on the same equity index. Holding all other factors constant, an increase in the risk-free interest rate will increase the value of:

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正确答案： C

无风险利率（risk-free rate）上升，看涨期权价值上升，看跌期权价值下降。Reyes 持有看涨期权多头，这个头寸获利；他是看跌期权空头，看跌期权跌价对他也有利。两个头寸都升值。

其他选项为什么错

A. 只有利率变化对两个头寸都不利时，两者才都不获利。利率上升使看涨期权升值、看跌期权贬值，所以看涨期权多头获利，看跌期权空头也获利。
B. 如果 Reyes 同时做多两个期权（或同时做空），才只有一个头寸获利，因为利率让看涨和看跌期权价值反向变动。他是看涨期权多头加看跌期权空头，两边都受益。

本题要点利率让看涨和看跌期权价值反向变动；空头头寸（short position）再把方向反过来。

本章题库共 21 道题。去题库全部练习。

本章要点

两个期权分开判断：看涨期权 $S > X$ 时为 ITM，看跌期权 $S < X$ 时为 ITM。行权价不同，两者可以同时处于实值。
看涨期权行权价值 $= max (0, S - X)$ ；看跌期权行权价值 $= max (0, X - S)$ 。时间价值等于期权费减行权价值。
远期的初始价值为零，收益是双向的。期权有正的期权费，收益是单边的，所以用复制法定价。
利率让看涨和看跌期权价值反向变动；空头头寸（short position）再把方向反过来。