期货合约的定价与估值（Pricing and Valuation of Futures Contracts）

本章比较远期和期货（包括利率期货）的定价与估值，并解释两者价格为什么会不同。考生要能说明逐日结算（daily settlement）怎样改变期货合约（futures contract）的价格和价值，算出利率期货价格（futures price）及其基点价值，并把远期与期货的价格差异和利率与期货价格的相关性（correlation）以及凸性偏差（convexity bias）联系起来。

LOS 75.a — 远期与期货的价值和价格

远期（不按市价计值）。 远期价格（forward price）在合约整个存续期内保持不变。远期的价值随现货价格变动，全部利得或损失到结算时才一次支付，金额为现货价格与不变的远期价格之差。

期货（每日按市价计值（mark-to-market））。 每天收盘时，自上一个**结算价（settlement price）**以来的利得或损失计入或扣出各方的保证金账户，然后把合约视同按新的结算价重新签订。结果是：

• 期货价格（futures price）每天都变，因为它被重设为最新的结算价；
• 每次逐日结算（daily settlement）之后，期货头寸的价值回到零。

*例：*一名交易员按 250 买入一份 100 单位的期货合约，持有多头。

两天里，多头收到 $300，付出 $600，净额 $-\$300=(247-250)\times 100$。按 250 签订、在 247 结算的远期合约（forward contract），不考虑利息，支付的总额相同。不同的是时间：期货的利得和损失逐日到账，这种时间差正是 LOS 75.b 中远期与期货价格差异的来源。

每日按市价计值的远期（例如在集中清算安排下）表现与期货相同。

利率期货

利率期货是**远期利率协议（forward rate agreements, FRA）**在交易所交易的对应品种，但按价格报价：

报价 95.80 意味着 MRR 为 4.20%。价格与利率反向变动，所以利率下降时，期货多头获利。

**基点价值（BPV）**是利率变动 1 bp 时合约价值的变动：

对于名义本金（notional principal）$2,000,000 的 6 个月期利率，$\text{BPV}=2,000,000\times 0.5\times 0.0001=\$100$ 每基点。

LOS 75.b — 远期价格和期货价格为什么会不同

定价上的关键区别是期货利得和损失的逐日结算（daily settlement）。超过初始保证金（initial margin）的利得可以取出再投资；亏损使账户低于维持保证金（maintenance margin）时，必须补足资金。远期在结算前通常不产生现金流。

这些差异不会带来套利（arbitrage）机会，它们反映的是按市价计值现金流的价值。实际中这种差异通常小到看不出来，因为大多数远期期限很短，资金可以按接近无风险利率（risk-free rate）的成本取得，而且许多交易商会缴纳保证金。

利率远期相对于期货的凸性偏差

FRA 在贷款期开始时结算，所以支付额是利息差按实际 MRR 折现后的金额。利率期货支付的是不折现的线性金额（每基点一个 BPV）。要同口径比较，应把 FRA 多头（利率上升时获利）和期货空头比较：利率上升时期货价格（futures price）下跌，期货空头的价值同样上升。

• 利率上升时，FRA 多头收到的利息节省按更高的实际利率折现，所以略少于期货的支付额。
• 利率下降同样幅度时，FRA 多头支付的金额按更低的利率折现，比利率上升时收到的金额大。
• 因此 FRA 的收益是利率的非线性函数：利率上升引起的变化小于利率同幅下降引起的变化。从 FRA 空头（即贷款人，其头寸类似债券）的角度看，这条曲线是凸的，和债券的价格–收益率曲线一样；多头的收益是它的镜像（凹的）。这种弯曲就是 FRA 的凸性（convexity）。期货的收益是线性的，没有凸性。

这种凸性偏差随期限长度增加而变大，对于较长期限的利率，可能使远期价格（forward price）和期货价格出现明显差异。